リニアリーオーダードセット（線形順序集合）上のシーケンス（列）に対して、リミットインフェリア（下極限）はシーケンス（列）のレンジ（値域）のサプリマム（上限）以下であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リニアリーオーダードセット（線形順序集合）の定義を知っている。
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）上のシーケンス（列）のリミットインフェリア（下極限）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより大きく、当該要素より小さい当該セット（集合）の各要素に対して、より大きい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意の\(2\)個の要素たちに対して、もしも、第1要素より小さい各要素が第2要素より小さい場合、第1要素は第2要素以下であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）上の任意のシーケンス（列）に対して、もしも、リミットインフェリア（下極限）および当該シーケンス（列）のレンジ（値域）のサプリマム（上限）が存在する場合、リミットインフェリア（下極限）は当該シーケンス（列）のレンジ（値域）のサプリマム（上限）以下であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\subseteq \mathbb{N}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(J \neq \emptyset\)
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのリニアリーオーダードセット（線形順序集合）たち }\}\)で、任意のリニアオーダリング（線形順序）\(\lt\)を持つもの
\(s\): \(\in \{\text{ 全てのシーケンス（列）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(Dom (s) = J\)および\(Ran (s) \subseteq S\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists lim inf s \land \exists Sup (Ran (s))\)
\(\implies\)
\(lim inf s \le Sup (Ran (s))\)
//
2: 注
\(lim inf s\)の存在と\(Sup (Ran (s))\)の存在の間にさほどシンプルな関係はない。
例えば、\(J = \mathbb{N}\)および\(S = \mathbb{Q}\)、カノニカル（正典）オーダリング（順序）を持って、\(s\)を、\(2\)から開始して減少しながら\(\sqrt{2}\)に近づくあるシーケンス（列）としよう、すると、\(lim inf s\)は存在しないが、\(Sup (Ran (s))\)は\(2\)として存在する。
例えば、\(J = \mathbb{N}\)および\(S = \mathbb{Q}\)、カノニカル（正典）オーダリング（順序）を持って、\(s\)を、偶インデックスサブシーケンス（部分列）はコンスタントに\(1\)で奇インデックスサブシーケンス（部分列）は\(1\)から開始して増加しながら\(\sqrt{2}\)に近づくとしよう、すると、\(lim inf s\)は\(1\)として存在するが、\(Sup (Ran (s))\)は存在しない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(J\)はファイナイト（有限）であるケースに対処し、それ以降は、そうでないと仮定する; ステップ2: \(lim inf s \le Sup (Ran (s))\)であることを見る。
ステップ1:
\(\vert J \vert \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)であると仮定しよう。
\(lim inf s = s (J_{\vert J \vert})\)。
\(s (J_{\vert J \vert}) \le Min (Ub (Ran (s))) = Sup (Ran (s))\)。
したがって、\(lim inf s \le Sup (Ran (s))\)。
これ以降は、そうでないと仮定しよう。
ステップ2:
\(lim inf s = Sup (\{Inf (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \vert m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\})\)。
\(s' \in S\)を、\(s' \lt lim inf s\)を満たす任意のものとしよう。
もしも、そうした\(s'\)が無い場合は、それでよい。
以下を満たすある\(Inf (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\})\)、つまり、\(s' \lt Inf (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\})\)、がある、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより大きく、当該要素より小さい当該セット（集合）の各要素に対して、より大きい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(m \le n\)を満たす任意の\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(Inf (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \le s (J_n)\)。
しかし、\(s (J_n) \le Sup (Ran (s))\)。
したがって、\(s' \lt Inf (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \le s (J_n) \le Sup (Ran (s))\)、したがって、\(s' \lt Sup (Ran (s))\)。
したがって、\(lim inf s \le Sup (Ran (s))\)、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意の\(2\)個の要素たちに対して、もしも、第1要素より小さい各要素が第2要素より小さい場合、第1要素は第2要素以下であるという命題によって。
