メジャラブルスペース（測定可能空間）の中へのマップ（写像）およびドメイン（定義域）上にインデュースト（誘導された）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）に対して、ドメイン（定義域）上のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）に対して、コドメイン（余域）のポイントで\(1\)-ポイントサブセット（部分集合）がメジャラブル（測定可能）であるものに対して、ポイントプリイメージ（前像）は、メジャラブルサブセット（測定可能部分集合）内に包含されているまたはメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）からディスジョイント（互いに素）であることの記述/証明
話題
About: メジャラブルスペース（測定可能空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、 メジャラブルスペース（測定可能空間）の中へのマップ（写像）のドメイン（定義域）上にインデュースト（誘導された）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、コドメイン（余域）のサブセット（部分集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のセット（集合）から任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）の中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）をメジャラブル（測定可能）にする当該ドメイン（定義域）の最小\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は当該コドメイン（余域）の全てのメジャラブル（測定可能）サブセット（部分集合）たちのプリイメージ（前像）たちのセット（集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）、当該ドメイン（定義域）の任意のサブセット（部分集合）、当該コドメイン（余域）の任意のポイントに対して、もしも、当該ポイントのプリイメージ（前像）と当該サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）があるプリイメージ（前像）である場合、当該ポイントのプリイメージ（前像）は、当該サブセット（部分集合）内に包含されているまたは当該サブセット（部分集合）からディスジョイント（互いに素）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）の中への任意のマップ（写像）および当該ドメイン（定義域）上にインデュースト（誘導された）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）に対して、当該ドメイン（定義域）上の各メジャラブルサブセット（測定可能部分集合）に対して、当該コドメイン（余域）のポイントで\(1\)-ポイントサブセット（部分集合）がメジャラブル（測定可能）であるもの各々に対して、当該ポイントプリイメージ（前像）は、当該メジャラブルサブセット（測定可能部分集合）内に包含されているまたは当該メジャラブルサブセット（測定可能部分集合）からディスジョイント（互いに素）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S_1\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\((M_2, A_2)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\(f\): \(: S_1 \to M_2\)
\(\sigma (f)\): \(= S_1 \text{ 上に } f \text{ によってインデュースト（誘導された） } \sigma \text{ -アルジェブラ（多元環） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall a \in \sigma (f) (\forall m_2 \in M_2 \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } \{m_2\} \in A_2 (f^{-1} (m_2) \subseteq a \lor f^{-1} (m_2) \cap a = \emptyset))\)
//
2: 注
実のところ、これは、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）の中への任意のマップ（写像）たちのドメイン（定義域）上にインデュースト（誘導された）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）に対して、各メジャラブルサブセット（測定可能部分集合）に対して、各、ポイントプリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）は、当該メジャラブルサブセット（測定可能部分集合）内に包含されているまたは当該メジャラブルサブセット（測定可能部分集合）からディスジョイント（互いに素）であるという命題（そこでは、\(\{m_2\} \in A_2\)は要求されていない）のある特別なケースである。
\((M_2, A_2) = (\mathbb{R}^d, B (\mathbb{R}^d))\)、ユークリディアンメジャラブルスペース（測定可能空間）、である時は、\(\{m_2\} \in A_2\)は保証されている、各\(m_2 \in M_2\)に対して。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f^{-1} (m_2) \cap a = f^{-1} (a_2)\)、ある\(a_2 \in A_2\)に対して、であることを見る、そして、\(f^{-1} (m_2) \subseteq a \lor f^{-1} (m_2) \cap a = \emptyset\)であることを見る。
ステップ1:
\(\{m_2\} \in A_2\)であるから、\(f^{-1} (m_2) \in \sigma (f)\)、任意のセット（集合）から任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）の中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）をメジャラブル（測定可能）にする当該ドメイン（定義域）の最小\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は当該コドメイン（余域）の全てのメジャラブル（測定可能）サブセット（部分集合）たちのプリイメージ（前像）たちのセット（集合）であるという命題によって、したがって、\(f^{-1} (m_2) \cap a \in \sigma (f)\)。
したがって、\(f^{-1} (m_2) \cap a = f^{-1} (a_2)\)、ある\(a_2 \in A_2\)に対して、メジャラブルスペース（測定可能空間）の中へのマップ（写像）のドメイン（定義域）上にインデュースト（誘導された）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義によって。
したがって、\(f^{-1} (m_2) \subseteq a\)または\(f^{-1} (m_2) \cap a = \emptyset\)、任意のマップ（写像）、当該ドメイン（定義域）の任意のサブセット（部分集合）、当該コドメイン（余域）の任意のポイントに対して、もしも、当該ポイントのプリイメージ（前像）と当該サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）があるプリイメージ（前像）である場合、当該ポイントのプリイメージ（前像）は、当該サブセット（部分集合）内に包含されているまたは当該サブセット（部分集合）からディスジョイント（互いに素）であるという命題によって。
