シーケンス（列）のサブシーケンス（部分列）たちのユニオンの定義
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、シーケンス（列）のサブシーケンス（部分列）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、シーケンス（列）のサブシーケンス（部分列）たちのユニオンの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( s\): \(\in \{\text{ 全てのシーケンス（列）たち }\}\)で、\(Dom (s) = J\)および\(Ran (s) = S\)を持つもの
\( L\): \(\in \{\text{ 全てのインデックスセット（集合）たち }\}\)
\( \{s^`_l = s \circ f_l: J^`_l \to S \in \{s \text{ の全てのサブシーケンス（部分列）たち }\} \vert l \in L\}\)
\(*\cup_{l \in L} s^`_l\): \(\in \{s \text{ の全てのサブシーケンス（部分列）たち }\}\), \(= s \circ id_{\cup_{l \in L} f_l (J^`_l)}\)、ここで、\(id_{\cup_{l \in L} f_l (J^`_l)}: \cup_{l \in L} f_l (J^`_l) \to J\)はアイデンティティマップ（恒等写像）である
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コンディションたち:
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2: 注
本定義は、多くの人々が自然に想像するものであるに違いない。
実のところ、\(\cup_{l \in L} s^`_l\)は、\(\cup_{l \in L} \widetilde{s^`_l}\)、ここで、\(\widetilde{s^`_l}\)は\(s^`_l\)に対するカノニカル（正典）サブシーケンス（部分列）である、とするとより良く理解できる: 各\(f_l: J^`_l \to J\)がいかに取られるかは重要でなく、\(\cup_{l \in L} J^`_l\)を取ることは意味をなさない、したがって、私たちは、カノニカル（正典）サブシーケンス（部分列）たちを取り、当該カノニカル（正典）サブシーケンス（部分列）たちのユニオンを取り、もしも、\(\cup_{l \in L} s^`_l\)のドメイン（定義域）を調整する必要がある場合、私たちは、任意の適切な\(f: J^` \to \cup_{l \in L} f_l (J^`_l)\)を取ることができる。
\(\cup_{l \in L} s^`_l\)は、本当に、あるサブシーケンス（部分列）である、なぜなら、\(\forall f_m (j^`_{m, 1}), f_n (j^`_{n, 2}) \in \cup_{l \in L} f_l (J^`_l) \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } f_m (j^`_{m, 1}) \lt f_n (j^`_{n, 2}) (id_{\cup_{l \in L} f_l (J^`_l)} (f_m (j^`_{m, 1})) = f_m (j^`_{m, 1}) \lt f_n (j^`_{n, 2}) = id_{\cup_{l \in L} f_l (J^`_l)} (f_n (j^`_{n, 2}))) \land \forall j \in J (\exists f_m (j^`_m) \in \cup_{l \in L} f_l (J^`_l) (j \le f_m (j^`_m)))\)。
例えば、あるシーケンス（列）\(s\)で\(Dom (s) = \mathbb{N}\)を持つもの、サブシーケンス（部分列）\(s^`_1\)で\(Dom (s^`_1) = \mathbb{N}\)および\(f_1 (\mathbb{N}) = \{0, 1, 20, 21, ...\}\)を持つもの、サブシーケンス（部分列）\(s^`_2\)で\(Dom (s^`_2) = \mathbb{N}\)および\(f_2 (\mathbb{N}) = \{10, 11, 30, 31, ...\}\)を持つものに対して、\(f (0) = 0, f (1) = 10, f (2) = 1, f (3) = 11, ...\)のように取るのは、サブシーケンス（部分列）を作成しない、なぜなら、順序が乱されている、したがって、私たちは、\(f_1 (\mathbb{N}) \cup f_2 (\mathbb{N}) = \{0, 1, 10, 11, 20, 21, 30, 31, ...\}\)および\(id_{f_1 (\mathbb{N}) \cup f_2 (\mathbb{N})}\)を取る。
