トポロジカルスペース（空間）はコントラクティブル（縮められる）である、もしも、スペース（空間）が\(1\)-ポイントトポロジカルスペース（空間）へホモトピーイクイバレント（同値）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）たちのコレクション上のホモトピーイクイバレンス（同値写像）リレーション（関係）の定義を知っている。
- 読者は、コントラクティブル（縮められる）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はコントラクティブル（縮められる）である、もしも、当該スペース（空間）がある\(1\)-ポイントトポロジカルスペース（空間）へホモトピーイクイバレント（同値）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\sim\): \(= \text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たちのコレクション上のホモトピーイクイバレンス（同値写像）リレーション（関係） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのコントラクティブル（縮められる）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\iff\)
\(\exists \widetilde{T} \in \{\text{ 全ての } 1 \text{ -ポイントトポロジカルスペース（空間）たち }\} (T \sim \widetilde{T})\)
//
2: 注
そうしたある\(\widetilde{T}\)がある時は、\(T\)は各\(1\)-ポイントトポロジカルスペース（空間）へホモトピーイクイバレント（同値）である、なぜなら、全ての\(1\)-ポイントトポロジカルスペース（空間）たちはホメオモーフィック（位相同形）である: 各\(1\)-ポイントトポロジカルスペース（空間）は不可避なトポロジーを持つ、そして、各\(1\)-ポイントトポロジカルスペース（空間）\(\widetilde{T}'\)に対して、不可避なホメオモーフィズム（位相同形写像）\(g: \widetilde{T} \to \widetilde{T}'\)があり、\(T \sim \widetilde{T}\)であるから、あるホモトピーイクイバレンス（同値写像）\(f: T \to \widetilde{T}\)がある、それが意味するのは、\([f]\)はある\(hTop\)アイソモーフィズム（同形写像）である、それが意味するのは、以下を満たすあるコンティニュアス（連続）\(\widetilde{f}: \widetilde{T} \to T\)、つまり、\([\widetilde{f}] \circ [f] = [id]\)および\([f] \circ [\widetilde{f}] = [id]\)、がある、したがって、\(g \circ f: T \to \widetilde{T}'\)があり、\([\widetilde{f} \circ g^{-1}] \circ [g \circ f] = [\widetilde{f} \circ g^{-1} \circ g \circ f] = [\widetilde{f} \circ f] = [id]\)および\([g \circ f] \circ [\widetilde{f} \circ g^{-1}] = [g \circ f \circ \widetilde{f} \circ g^{-1}] = [g] \circ [f \circ \widetilde{f}] \circ [g^{-1}] = [g] \circ [id] \circ [g^{-1}] = [g \circ id \circ g^{-1}] = [id]\)、したがって、\(T \sim \widetilde{T}'\)。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: suppose that \(T\) is contractible; Step 2: see that there is a \(\widetilde{T}\); Step 3: suppose that there is a \(\widetilde{T}\); Step 4: see that \(T\) is contractible.
Step 1:
Let us suppose that \(T\) is contractible.
Step 2:
There is a constant \(f: T \to T, t \mapsto c\) such that \(id \simeq f\), by the definition of contractible topological space.
Let \(\widetilde{T} := \{c\}\), the \(1\)-point topological space with the inevitable topology.
Let \(f': T \to \widetilde{T}, t \mapsto c\).
Let \(g: \widetilde{T} \to T, c \to c\).
\(g \circ f' = f \simeq id\), which means that \([g \circ f'] = [g] \circ [f'] = [id]\).
\(f' \circ g = id \simeq id\), which means that \([f' \circ g] = [f'] \circ [g] = [id]\).
So, \([f']\) is an \(hTop\) isomorphism.
So, \(f'\) is a homotopy equivalence.
So, \(T \sim \widetilde{T}\).
Step 3:
Let us suppose that there is a \(\widetilde{T}\) such that \(T \sim \widetilde{T}\).
Step 4:
Let \(\widetilde{T} = \{c\}\).
There is a homotopy equivalence, \(h: T \to \widetilde{T}\).
So, there is a continuous map, \(g: \widetilde{T} \to T\), such that \([g] \circ [h] = [id]\) and \([h] \circ [g] = [id]\).
\(f := g \circ h: T \to T\) is constant, because for each \(t \in T\), \(g \circ h (t) = g (c)\).
\([f] = [g \circ h] = [g] \circ [h] = [id]\), which means that \(f \simeq id\).
So, \(T\) is contractible.
