トポロジカルスペース（空間）たちのコレクション上のホモトピーイクイバレンス（同値写像）リレーション（関係）の定義
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ホモトピーイクイバレンス（同値写像）の定義を知っている。
- 読者は、コレクション上のイクイバレンスリレーション（同値関係）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）たちのコレクション上のホモトピーイクイバレンス（同値写像）リレーション（関係）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( C\): \(= \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(*\sim\): \(\in \{C \text{ 上の全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(T_1 \sim T_2 \iff \exists f: T_1 \to T_2 \in \{\text{ 全てのホモトピーイクイバレンス（同値写像）たち }\}\)
//
コンディションたち:
//
2: 注
'コレクション'と'セット（集合）'の間の区別については、あなたは、セットたちについて語っているのか、それともコレクションたちについてなのか？を参照のこと。
\(\sim\)は本当にあるイクイバレンスリレーション（同値関係）であることを見よう。
1) \(\forall T \in C (T \sim T)\): reflexivity: \(id: T \to T\) is a homotopy equivalence, because \([id] \circ [id] = [id \circ id] = [id]\). 1) \(\forall T \in C (T \sim T)\): リフレクシビティ（反射性）: \(id: T \to T\)はあるホモトピーイクイバレンス（同値写像）である、なぜなら、\([id] \circ [id] = [id \circ id] = [id]\)。
2) \(\forall T_1, T_2 \in C (T_1 \sim T_2 \implies T_2 \sim T_1)\): シンメトリー（対称性）: 以下を満たすある\(f_1: T_1 \to T_2\)およびある\(\widetilde{f_2}: T_2 \to T_1\)、つまり、\([\widetilde{f_2}] \circ [f_1] = [id]\)および\([f_1] \circ [\widetilde{f_2}] = [id]\)、がある、それが含意するのは、\(T_2 \sim T_1\)。
3) \(\forall T_1, T_2, T_3 \in C ((T_1 \sim T_2 \land T_2 \sim T_3) \implies T_1 \sim T_3)\): トランジティビティ（推移性）: 以下を満たすある\(f_1: T_1 \to T_2\)およびある\(\widetilde{f_2}: T_2 \to T_1\)、つまり、\([\widetilde{f_2}] \circ [f_1] = [id]\)および\([f_1] \circ [\widetilde{f_2}] = [id]\)、があり、以下を満たすある\(f_2: T_2 \to T_3\)およびある\(\widetilde{f_3}: T_3 \to T_2\)、つまり、\([\widetilde{f_3}] \circ [f_2] = [id]\)および\([f_2] \circ [\widetilde{f_3}] = [id]\)、がある、そして、\([\widetilde{f_2}] \circ [\widetilde{f_3}] \circ [f_2] \circ [f_1] = [\widetilde{f_2}] \circ ([\widetilde{f_3}] \circ [f_2]) \circ [f_1] = [\widetilde{f_2}] \circ [id] \circ [f_1] = [\widetilde{f_2}] \circ [f_1] = [id]\)および\([f_2] \circ [f_1] \circ [\widetilde{f_2}] \circ [\widetilde{f_3}] = [f_2] \circ ([f_1] \circ [\widetilde{f_2}]) \circ [\widetilde{f_3}] = [f_2] \circ [id] \circ [\widetilde{f_3}] = [f_2] \circ [\widetilde{f_3}] = [id]\)、それが含意するのは、\(T_1 \sim T_3\)。
\(T_1 \sim T_2\)である時、\(T_1\)と\(T_2\)は、"ホモトピーイクイバレント（同値）"と呼ばれる、\(T_1\)は、"\(T_2\)へホモトピーイクイバレント（同値）"と呼ばれる、\(T_1\)と\(T_2\)は、"同一ホモトピータイプを持つ"と呼ばれる。
実のところ、\(\sim\)はあるイクイバレンスリレーション（同値関係）であるから、当該クオシエント（商）コレクション\(C / \sim\)があり、\(C / \sim\)の各要素は、"ホモトピータイプ"と呼ばれる。
