サブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）はセット（集合）全体である、もしも、サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）が空である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）は当該セット（集合）全体である、もしも、当該サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）が空である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_j \subseteq S \vert j \in J\}\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(\cup_{j \in J} (S \setminus S_j) = S\)
\(\iff\)
\(\cap_{j \in J} S = \emptyset\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(\cup_{j \in J} (S \setminus S_j) = S \setminus \cap_{j \in J} S\); Step 2: suppose that \(\cup_{j \in J} (S \setminus S_j) = S\); Step 3: see that \(\cap_{j \in J} S = \emptyset\); Step 4: suppose that \(\cap_{j \in J} S = \emptyset\); Step 5: see that \(\cup_{j \in J} (S \setminus S_j) = S\).
Step 1:
\(\cup_{j \in J} (S \setminus S_j) = S \setminus \cap_{j \in J} S\), the proposition for any set, the union of the complements of any possibly uncountable number of subsets is the complement of the intersection of the subsets.
Step 2:
Let us suppose that \(\cup_{j \in J} (S \setminus S_j) = S\).
Step 3:
\(S \setminus \cap_{j \in J} S = \cup_{j \in J} (S \setminus S_j)\), by Step 1, \(= S\), by the supposition, which implies that \(\cap_{j \in J} S = \emptyset\).
Step 4:
Let us suppose that \(\cap_{j \in J} S = \emptyset\).
Step 5:
\(\cup_{j \in J} (S \setminus S_j) = S \setminus \cap_{j \in J} S\), by Step 1, \(= S \setminus \emptyset\), by the supposition, \(= S\).
