非空オープン（開）またはクローズド（閉）サブセット（部分集合）たちの非増加シーケンス（列）シーケンス（列）のインターセクション（共通集合）は必ずしもポイントを包含しないことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、シーケンス（列）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、非空オープン（開）またはクローズド（閉）サブセット（部分集合）たちのある非増加シーケンス（列）シーケンス（列）のインターセクション（共通集合）は必ずしもポイントを包含しないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(J\): \(\subseteq \mathbb{N}\)
\(s\): \(: J \to \{T \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} \setminus \{\emptyset\}\), \(\in \{\text{ 全てのシーケンス（列）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(\forall j, j' \in J \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } j \lt j' (s (j') \subseteq s (j))\)
//
ステートメント（言明）たち:
必ずしも以下ではない、つまり、"\(\cap_{j \in J} s (j) \neq \emptyset\)"
//
2: Proof 1
Whole Strategy: Step 1: see a counterexample.
Step 1:
Let us see a counterexample.
Let \(T := \mathbb{R}\), as the Euclidean topological space, \(J = \mathbb{N}\), and \(s (j) := (0, 1 / (j + 1)) \subseteq T\).
\(s\) satisfies the conditions, because for each \(j \in J\), \(s (j) \neq \emptyset\), and for each \(j, j' \in J\) such that \(j \lt j'\), \(s (j') = (0, 1 / (j' + 1)) \subseteq (0, 1 / (j + 1)) = s (j)\).
Let \(t \in T\) be any.
When \(t \le 0\), \(t \notin (0, 1) = s (0)\), so, \(t \notin \cap_{j \in J} s (j)\).
When \(0 \lt t\), there is a large enough \(j \in J\) such that \(1 / (j + 1) \lt t\), so, \(t \notin (0, 1 / (j + 1)) = s (j)\), so, \(t \notin \cap_{j \in J} s (j)\).
So, anyway, \(t \notin \cap_{j \in J} s (j)\).
So, \(\cap_{j \in J} s (j) = \emptyset\).
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(J\): \(\subseteq \mathbb{N}\)
\(s\): \(: J \to \{T \text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\} \setminus \{\emptyset\}\), \(\in \{\text{ 全てのシーケンス（列）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(\forall j, j' \in J \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } j \lt j' (s (j') \subseteq s (j))\)
//
ステートメント（言明）たち:
必ずしも、以下ではない、つまり、"\(\cap_{j \in J} s (j) \neq \emptyset\)"
//
4: Proof 2
Whole Strategy: Step 1: see a counterexample.
Step 1:
Let us see a counterexample.
Let \(T := \mathbb{R}\), as the Euclidean topological space, \(J = \mathbb{N}\), and \(s (j) := (- \infty, - j] \subseteq T\).
\(s\) satisfies the conditions, because for each \(j \in J\), \(s (j) \neq \emptyset\), and for each \(j, j' \in J\) such that \(j \lt j'\), \(s (j') = (- \infty, - j'] \subseteq (- \infty, - j] = s (j)\).
Let \(t \in T\) be any.
There is a large enough \(j \in J\) such that \(- j \lt t\), so, \(t \notin (- \infty, - j] = s (j)\), so, \(t \notin \cap_{j \in J} s (j)\).
So, \(t \notin \cap_{j \in J} s (j)\).
So, \(\cap_{j \in J} s (j) = \emptyset\).
5: 注
\(s\)のコドメイン（余域）が非空オープンサブセット（開部分集合）たちのセット（集合）や非空クローズドサブセット（閉部分集合）たちのセット（集合）にリストリクテッド（制限された）でなく非空サブセット（部分集合）たちのセット（集合）にリストリクテッド（制限された）である時、必ずしも"\(\cap_{j \in J} s (j) \neq \emptyset\)"ではない、なおさら、なぜなら、"証明1"および"証明2"は反例たちである。
"記述2"の要点は、\(T\)は必ずしもコンパクトでないことである。
もしも、\(T\)がコンパクトである場合、当該インターセクション（共通集合）はあるポイントを包含する、任意のトポロジカルスペース（空間）はコンパクトである、もしも、そのクローズドサブセット（閉部分集合）たちのコレクションで任意の有限数メンバーたちのインターセクション（共通集合）が空でないどんなものに対しても、当該コレクションのインターセクション（共通集合）が空でない場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
