ホモトピーイクイバレンス（同値写像）たちのコンポジション（合成）はホモトピーイクイバレンス（同値写像）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ホモトピーイクイバレンス（同値写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の第1トポロジカルスペース（空間）から任意の第2トポロジカルスペース（空間）の中への任意のホモトピックマップ（写像）たちおよび任意の第2トポロジカルスペース（空間）から任意の第3トポロジカルスペース（空間）の中への任意のホモトピックマップ（写像）たちに対して、当該ホモトピックマップ（写像）たちのコンポジション（合成）たちはホモトピックであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のホモトピーイクイバレンス（同値写像）たちのコンポジション（合成）はあるホモトピーイクイバレンス（同値写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_3\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f_1\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのホモトピーイクイバレンス（同値写像）たち }\}\)
\(f_2\): \(: T_2 \to T_3\), \(\in \{\text{ 全てのホモトピーイクイバレンス（同値写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f_2 \circ f_1 \in \{\text{ 全てのホモトピーイクイバレンス（同値写像）たち }\}\)
//
2: 注
一部の人々は、本命題は既に、ホモトピーイクイバレント（同値写像）であることはあるイクイバレンスリレーション（同値関係）であるという事実に含まれていると考えるかもしれない、しかし、その事実は、\(T_1\)から\(T_3\)の中へのあるホモトピーイクイバレンス（同値写像）があるということのみを含意し、\(f_2 \circ f_1\)があるホモトピーイクイバレンス（同値写像）であることをではない: 確かに、あるイクイバレンスリレーション（同値関係）であることは、通常、\(f_2 \circ f_1\)があるホモトピーイクイバレンス（同値写像）であることを証明することによって証明されるのであるが。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: take a continuous \(\widetilde{f_2}: T_2 \to T_1\) such that \(\widetilde{f_2} \circ f_1 \simeq id_{T_1}\) and \(f_1 \circ \widetilde{f_2} \simeq id_{T_2}\) and a continuous \(\widetilde{f_3}: T_3 \to T_2\) such that \(\widetilde{f_3} \circ f_2 \simeq id_{T_2}\) and \(f_2 \circ \widetilde{f_3} \simeq id_{T_3}\); Step 2: see that \(\widetilde{f_2} \circ \widetilde{f_3} \circ f_2 \circ f_1 \simeq id_{T_1}\) and \(f_2 \circ f_1 \circ \widetilde{f_2} \circ \widetilde{f_3} \simeq id_{T_3}\).
Step 1:
There is a continuous \(\widetilde{f_2}: T_2 \to T_1\) such that \(\widetilde{f_2} \circ f_1 \simeq id_{T_1}\) and \(f_1 \circ \widetilde{f_2} \simeq id_{T_2}\), by Note for the definition of homotopy equivalence.
There is a continuous \(\widetilde{f_3}: T_3 \to T_2\) such that \(\widetilde{f_3} \circ f_2 \simeq id_{T_2}\) and \(f_2 \circ \widetilde{f_3} \simeq id_{T_3}\), as before.
Step 2:
Let us take \(\widetilde{f_2} \circ \widetilde{f_3}: T_3 \to T_1\).
\(\widetilde{f_2} \circ \widetilde{f_3}\) is continuous, by the proposition that for any maps between any arbitrary subspaces of any topological spaces continuous at any corresponding points, the composition is continuous at the point.
\(\widetilde{f_2} \circ \widetilde{f_3} \circ f_2 \circ f_1 = \widetilde{f_2} \circ (\widetilde{f_3} \circ f_2) \circ f_1 \simeq \widetilde{f_2} \circ id_{T_2} \circ f_1\), because \(\widetilde{f_3} \circ f_2 \simeq T_2\), by the proposition that for any homotopic maps from any 1st topological space into any 2nd topological space and any homotopic maps from the 2nd topological space into any 3rd topological space, the compositions of the homotopic maps are homotopic with a homotopy as this, \(= \widetilde{f_2} \circ f_1 \simeq id_{T_1}\).
\(f_2 \circ f_1 \circ \widetilde{f_2} \circ \widetilde{f_3} = f_2 \circ (f_1 \circ \widetilde{f_2}) \circ \widetilde{f_3} \simeq f_2 \circ id_{T_2} \circ \widetilde{f_3}\), because \(f_1 \circ \widetilde{f_2} \simeq id_{T_2}\), as before, \(= f_2 \circ \widetilde{f_3} \simeq id_{T_3}\).
So, \(f_2 \circ f_1\) is a homotopy equivalence.
