マップ（写像）に対して、もしも、インバース（逆）が存在する場合、インバース（逆）はユニークであることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、マップ（写像）のインバース（逆）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、もしも、あるインバース（逆）が存在する場合、当該インバース（逆）がユニークインバース（逆）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S_1\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S_2\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(f\): \(: S_1 \to S_2\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists f', f'': S_2 \to S_1 ((f' \circ f = id_{S_1} \land f \circ f' = id_{S_2}) \land (f'' \circ f = id_{S_1} \land f \circ f'' = id_{S_2}))\)
\(\implies\)
\(f' = f''\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: evaluate \(f' \circ f \circ f''\).
Step 1:
As \(f' \circ f = id_{S_1}\), \((f' \circ f) \circ f'' = id_{S_1} \circ f''\), which is valid, because \(f''\) is into \(S_1\) and \(f' \circ f\) is from \(S_1\).
\((f' \circ f) \circ f'' = f' \circ (f \circ f'')\), because compositions of maps is associative, as is mentioned in Note for the definition of composition of maps, \(= f' \circ id_{S_2} = f'\).
On the other hand, \(id_{S_1} \circ f'' = f''\).
So, \(f' = f''\).
