マップ（写像）のインバース（逆）の定義
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）たちのコンポジション（合成）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、マップ（写像）のインバース（逆）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( S_1\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\( S_2\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\( f\): \(: S_1 \to S_2\)
\(*f^{- 1}\): \(: S_2 \to S_1\)
//
コンディションたち:
\(f^{- 1} \circ f = id_{S_1} \land f \circ f^{- 1} = id_{S_2}\)
//
2: 注
ある\(f\)に対して、\(f^{- 1}\)は存在しないかもしれない。
例えば、\(S_1 = \mathbb{R}\)、\(S_2 = \mathbb{R}\)、\(f = 0\)、当該コンスタントマップ（写像）、としよう、すると、\(f^{- 1}\)は存在しない、なぜなら、各\(r \in \mathbb{R}\)に対して、\(f^{- 1} \circ f (r) = f^{- 1} (0)\)、それは、\(id_{S_1} (r) = r\)であり得ない、なぜなら、\(f^{- 1}\)が何であろうとも、\(f^{- 1} (0)\)は、\(r\)に応じて変わることができない。
もしも、\(f^{- 1}\)が存在する場合、それはユニークである、任意のマップ（写像）に対して、もしも、あるインバース（逆）が存在する場合、当該インバース（逆）がユニークインバース（逆）であるという命題によって、それが、当該インバース（逆）が\(f^{- 1}\)と記される（それは\(f\)によって決定されるがごとく）理由である。
