モジュール（加群）に対して、非ゼロ要素のインバース（逆）は非ゼロ要素であることの記述/証明
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%モジュール（加群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のモジュール（加群）に対して、任意の非ゼロ要素のインバース（逆）はある非ゼロ要素であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(m\): \(\in M\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(m \neq 0\)
\(\implies\)
\(- m \neq 0\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: suppose that \(- m = 0\) and find a contradiction.
Step 1:
\(- m\) is nothing but the inverse element of \(m\).
Let us suppose that \(- m = 0\).
\(m + (- m) = 0\), but the left hand side would be \(m + 0 = m\), so, \(m = 0\), a contradiction against that \(m \neq 0\).
So, \(- m \neq 0\).
