リング（環）に対して、リング（環）上方のマトリックス（行列）たちのマルチプリケーション（乗法）たちはアディション（加法）に関してディストリビューティブ（分配的）であることの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリング（環）に対して、当該リング（環）上方の任意のマトリックス（行列）たちのマルチプリケーション（乗法）たちはアディション（加法）に関してディストリビューティブ（分配的）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ 上方 } n_1 \times n_2 \text{ マトリックス（行列）たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ 上方 } n_2 \times n_3 \text{ マトリックス（行列）たち }\}\)
\(M_3\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ 上方 } n_2 \times n_3 \text{ マトリックス（行列）たち }\}\)
\(M_4\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ 上方 } n_3 \times n_4 \text{ マトリックス（行列）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(M_1 (M_2 + M_3) = M_1 M_2 + M_1 M_3\)
\(\land\)
\((M_2 + M_3) M_4 = M_2 M_4 + M_3 M_4\)
//
2: 注
したがって、アディション（加法）に関してディストリビューティブ（分配的）であるのは、リアル（実）またはコンプレックス（複素）または任意のフィールド（体）\(R\)に対するだけでなく、任意のリング（環）\(R\)に対して常にである。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \((M_1 (M_2 + M_3))^j_m = (M_1 M_2 + M_1 M_3)^j_m\); Step 2: see that \(((M_2 + M_3) M_4)^j_m = (M_2 M_4 + M_3 M_4)^j_m\).
Step 1:
\((M_1 (M_2 + M_3))^j_m = \sum_l ({M_1}^j_l ({M_2}^l_m + {M_3}^l_m)) = \sum_l ({M_1}^j_l {M_2}^l_m + {M_1}^j_l {M_3}^l_m)\), by the multiplication distributability with respect to addition of \(R\).
\((M_1 M_2 + M_1 M_3)^j_m = \sum_l ({M_1}^j_l {M_2}^l_m) + \sum_l ({M_1}^j_l {M_3}^l_m) = \sum_l ({M_1}^j_l {M_2}^l_m + {M_1}^j_l {M_3}^l_m)\), because addition of \(R\) is commutative.
So, \((M_1 (M_2 + M_3))^j_m = (M_1 M_2 + M_1 M_3)^j_m\).
So, \(M_1 (M_2 + M_3) = M_1 M_2 + M_1 M_3\).
Step 2:
\(((M_2 + M_3) M_4)^j_m = \sum_l (({M_2}^j_l + {M_3}^j_l) {M_4}^l_m) = \sum_l ({M_2}^j_l {M_4}^l_m + {M_3}^j_l {M_4}^l_m)\), by the multiplication distributability with respect to addition of \(R\).
\((M_2 M_4 + M_3 M_4)^j_m = \sum_l ({M_2}^j_l {M_4}^l_m) + \sum_l ({M_3}^j_l {M_4}^l_m) = \sum_l ({M_2}^j_l {M_4}^l_m + {M_3}^j_l {M_4}^l_m)\), because addition of \(R\) is commutative.
So, \(((M_2 + M_3) M_4)^j_m = (M_2 M_4 + M_3 M_4)^j_m\).
So, \((M_2 + M_3) M_4 = M_2 M_4 + M_3 M_4\).
