\(n \times n\)リング（環）マトリックス（行列）たちのリング（環）の定義
話題
About: リング（環）
About: マトリックス（行列）たちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(n \times n\)リング（環）マトリックス（行列）たちのリング（環）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\( \{M\}\): \(= \text{ 当該 } R \text{ マトリックス（行列）たちスペース（空間） }\)
\( n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(*M_n (R)\): \(= \{M \in \{M\} \vert M \in \{\text{ 全ての } n \times n \text{ マトリックス（行列）たち }\}\}\)
//
コンディションたち:
//
2: 注
\(M_n (R)\)は本当にあるリング（環）であることを見よう。
\(M_n (R)\)は、アディション（加法）下においてあるアーベリアングループ（群）である: アディション（加法）はアソシアティブ（結合的）である、\(0\)マトリックス（行列）、全てのコンポーネントたちが\(0\)であるもの、は\(0\)要素である、そして、各\(M \in M_n (R)\)に対して、\(- M\)、\((- M)^j_l = - M^j_l\)として、は、\(M\)のインバース（逆）である。
\(M_n (R)\)は、マルチプリケーション（乗法）下においてアソシアティブ（結合的）である、なぜなら、リング（環）マトリックス（行列）たちの任意のマルチプリケーション（乗法）たちはアソシアティブ（結合的）である、任意のリング（環）に対して、当該リング（環）上方の任意のマトリックス（行列）たちのマルチプリケーション（乗法）たちはアソシアティブ（結合的）であるという命題によって。
\(I \in M_n (R)\)、ダイアゴナル（対角）マトリックス（行列）で各ダイアゴナル（対角）要素が\(1\)であるもの、は、アイデンティティ（単位）要素である、なぜなら、\((M I)^j_m = M^j_l I^l_m = M^j_m\)および\((I M)^j_m = I^j_l M^l_m = M^j_m\)。
したがって、\(M_n (R)\)はあるモノイドである。
\(M_n (R)\)のマルチプリケーション（乗法）はアディション（加法）に関してディストリビューティブ（分配的）である、任意のリング（環）に対して、当該リング（環）上方の任意のマトリックス（行列）たちのマルチプリケーション（乗法）たちはアディション（加法）に関してディストリビューティブ（分配的）であるという命題によって。
したがって、\(M_n (R)\)はあるリング（環）である。
