\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）でカノニカル（正典）リニアオーダリング（線形順序）を持つものおよびサブセット（部分集合）に対して、もしも、サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）がサブセット（部分集合）の外に存在する場合、インフィマム（下限）はサブセット（部分集合）のアキュームレーションポイント（集積点）である、そして、もしも、サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）がサブセット（部分集合）の外に存在する場合、サプリマム（上限）はサブセット（部分集合）のアキュームレーションポイント（集積点）である、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のアキュームレーションポイント（集積点）の定義を知っている。
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより小さく、当該要素より大きい当該セット（集合）の各要素に対して、より小さい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより大きく、当該要素より小さい当該セット（集合）の各要素に対して、より大きい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）でカノニカル（正典）リニアオーダリング（線形順序）を持つものおよび任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が当該サブセット（部分集合）の外に存在する場合、インフィマム（下限）は当該サブセット（部分集合）のあるアキュームレーションポイント（集積点）である、そして、もしも、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が当該サブセット（部分集合）の外に存在する場合、サプリマム（上限）は当該サブセット（部分集合）のあるアキュームレーションポイント（集積点）である、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)で、カノニカル（正典）リニアオーダリング（線形順序）\(\lt'\)を持つもの
\(S\): \(\subseteq \mathbb{R}\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(\exists Inf (S) \in \mathbb{R} \setminus S\)
\(\implies\)
\(Inf (S) \in \{S \text{ の全てのアキュームレーションポイント（集積点）たち }\}\)
)
\(\land\)
(
\(\exists Sup (S) \in \mathbb{R} \setminus S\)
\(\implies\)
\(Sup (S) \in \{S \text{ の全てのアキュームレーションポイント（集積点）たち }\}\)
)
//
2: 注
これは、"もしも、\(Inf (S)\)が\(S\)内に存在する場合、\(Inf (S)\)は決して\(S\)のアキュームレーションポイント（集積点）ではない"とは言っていない; 実のところ、もしも、\(Inf (S)\)が\(S\)内に存在する場合、\(Inf (S)\)は\(S\)のあるアキュームレーションポイント（集積点）であるかもしれない。
例えば、\(S = [0, 1]\)としよう、すると、\(Inf (S) = 0 \in S\)は\(S\)のあるアキュームレーションポイント（集積点）である。
しかし、\(S = \{- 1\} \cup [0, 1]\)に対して、\(Inf (S) = - 1 \in S\)は\(S\)のアキュームレーションポイント（集積点）ではない、なぜなら、\(B_{- 1, 1 / 2} \cap (S \setminus \{-1\}) = \emptyset\)。
同様に、これは、"もしも、\(Sup (S)\)が\(S\)内に存在する場合、\(Sup (S)\)は決して\(S\)のアキュームレーションポイント（集積点）ではない"とは言っていない"。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: suppose that \(Inf (S)\) exists in \(\mathbb{R} \setminus S\); Step 2: see that \(Inf (S)\) is an accumulation point of \(S\); Step 3: suppose that \(Sup (S)\) exists in \(\mathbb{R} \setminus S\); Step 4: see that \(Sup (S)\) is an accumulation point of \(S\).
Step 1:
Let us suppose that \(Inf (S)\) exists in \(\mathbb{R} \setminus S\).
Step 2:
Let \(U_{Inf (S)} \subseteq \mathbb{R}\) be any open neighborhood of \(Inf (S)\).
There is an \(\epsilon \in \mathbb{R}\) such that \(0 \lt \epsilon\) and \(B_{Inf (S), \epsilon} \subseteq U_{Inf (S)}\), by the definition of Euclidean topological space.
There is an \(s \in S\) such that \(s \lt Inf (S) + \epsilon\) and \(Inf (S) \le s\), by the proposition that for any linearly-ordered set and any subset, any element of the set is the infimum of the subset if and only if the element is equal to or smaller than each element of the subset and for each element of the set larger than the element, there is an element of the subset smaller.
\(Inf (S) - \epsilon \lt Inf (S) \le s\).
So, \(s \in B_{Inf (S), \epsilon}\).
On the other hand, \(s \in S = S \setminus \{Inf (S)\}\), because \(Inf (S) \notin S\).
So, \(s \in B_{Inf (S), \epsilon} \cap (S \setminus \{Inf (S)\})\), so, \(B_{Inf (S), \epsilon} \cap (S \setminus \{Inf (S)\}) \neq \emptyset\).
So, \(B_{Inf (S), \epsilon} \cap (S \setminus \{Inf (S)\}) \subseteq U_{Inf (S)} \cap (S \setminus \{Inf (S)\}) \neq \emptyset\).
So, \(Inf (S)\) is an accumulation point of \(S\).
Step 3:
Let us suppose that \(Sup (S)\) exists in \(\mathbb{R} \setminus S\).
Step 4:
Let \(U_{Sup (S)} \subseteq \mathbb{R}\) be any open neighborhood of \(Sup (S)\).
There is an \(\epsilon \in \mathbb{R}\) such that \(0 \lt \epsilon\) and \(B_{Sup (S), \epsilon} \subseteq U_{Sup (S)}\), by the definition of Euclidean topological space.
There is an \(s \in S\) such that \(Sup (S) - \epsilon \lt s\) and \(s \le Sup (S)\), by the proposition that for any linearly-ordered set and any subset, any element of the set is the supremum of the subset if and only if the element is equal to or larger than each element of the subset and for each element of the set smaller than the element, there is an element of the subset larger.
\(s \le Sup (S) \lt Sup (S) + \epsilon \).
So, \(s \in B_{Sup (S), \epsilon}\).
On the other hand, \(s \in S = S \setminus \{Sup (S)\}\), because \(Sup (S) \notin S\).
So, \(s \in B_{Sup (S), \epsilon} \cap (S \setminus \{Sup (S)\})\), so, \(B_{Sup (S), \epsilon} \cap (S \setminus \{Sup (S)\}) \neq \emptyset\).
So, \(B_{Sup (S), \epsilon} \cap (S \setminus \{Sup (S)\}) \subseteq U_{Sup (S)} \cap (S \setminus \{Sup (S)\}) \neq \emptyset\).
So, \(Sup (S)\) is an accumulation point of \(S\).
