リング（環）に対して、もしも、要素がインバース（逆）を持ち要素に別要素を左または右から掛けたものが\(1\)である場合、別要素はインバース（逆）であることの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リング（環）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリング（環）に対して、もしも、ある要素があるインバース（逆）を持つ場合、当該インバース（逆）はユニークであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリング（環）に対して、もしも、任意の要素があるインバース（逆）を持ち当該要素に任意の別要素を左または右から掛けたものが\(1\)である場合、当該別要素が唯一インバース（逆）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(r\): \(\in R\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(\exists r^{- 1} \in R \land \exists r' \in R (r' r = 1)\)
\(\implies\)
\(r' = r^{- 1}\)
)
\(\land\)
(
\(\exists r^{- 1} \in R \land \exists r' \in R (r r' = 1)\)
\(\implies\)
\(r' = r^{- 1}\)
)
//
2: 注
\(r\)はあるインバース（逆）を持つと事前仮定することが不可欠である、本命題に対して: \(r' r = 1\)および\(r r' = 1\)の内の任意の\(1\)個だけでは、\(r\)があるインバース（逆）を持つことを保証しない。
ある特別なケースは、もしも、任意のリング（環）スクウェアマトリックス（正方行列）\(M\)がインバーティブル（可逆）で\(M' M = I\)または\(M M' = I\)である場合、\(M' = M^{- 1}\)、なぜなら、\(n \times n\)リング（環）マトリックス（行列）たちリング（環）はあるリング（環）であり、\(M\)のインバース（逆）は当該マトリックス（行列）たちリング（環）内の\(M\)のインバース（逆）要素に他ならない。
3: Proof
Whole Strategy: Step 0: see that \(r^{- 1}\) is unique; Step 1: suppose that \(r^{- 1}\) exists and \(r' r = 1\); Step 2: see that \(r' r r^{- 1} = 1 r^{- 1}\); Step 3: suppose that \(r^{- 1}\) exists and \(r r' = 1\); Step 4: see that \(r^{- 1} r r' = r^{- 1} 1\).
Step 0:
When \(r\) has an inverse, the inverse is the unique \(r^{- 1}\), by the proposition that for any ring, if an element has an inverse, the inverse is unique.
Step 1:
Let us suppose that \(r^{- 1}\) exists and \(r' r = 1\).
Step 2:
\(r' r r^{- 1} = 1 r^{- 1}\), but the left hand side is \(r' (r r^{- 1}) = r' 1 = r'\) and the right hand side is \(r^{- 1}\).
So, \(r' = r^{- 1}\).
Step 3:
Let us suppose that \(r^{- 1}\) exists and \(r r' = 1\).
Step 4:
\(r^{- 1} r r' = r^{- 1} 1\), but the left hand side is \((r^{- 1} r) r' = 1 r' = r'\) and the right hand side is \(r^{- 1}\).
\(r' = r^{- 1}\).
