コンプレックス（複素）マトリックス（行列）に対して、マトリックス（行列）のトランスポーズ（転置）のエルミートコンジュゲート（共役）はマトリックス（行列）のエルミートコンジュゲート（共役）のトランスポーズ（転置）であることの記述/証明
話題
About: マトリックス（行列）たちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンプレックス（複素）マトリックス（行列）のエルミートコンジュゲート（共役）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンプレックス（複素）マトリックス（行列）に対して、当該マトリックス（行列）のトランスポーズ（転置）のエルミートコンジュゲート（共役）は当該マトリックス（行列）のエルミートコンジュゲート（共役）のトランスポーズ（転置）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } m \times n \mathbb{C} \text{ マトリックス（行列）たち } \}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\({M^t}^* = {M^*}^t\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \({M^t}^*\) and \({M^*}^t\) are \(m \times n\) and \({{M^t}^*}^j_l = {{M^*}^t}^j_l\).
Step 1:
\(M^t\) is \(n \times m\) and \({M^t}^*\) is \(m \times n\).
\(M^*\) is \(n \times m\) and \({M^*}^t\) is \(m \times n\).
For each \(j \in \{1, ..., m\}\) and each \(l \in \{1, ..., n\}\), \({{M^t}^*}^j_l = \overline{{M^t}^l_j} = \overline{M^j_l}\); \({{M^*}^t}^j_l = {M^*}^l_j = \overline{M^j_l}\).
So, \({{M^t}^*}^j_l = {{M^*}^t}^j_l\).
So, \({M^t}^* = {M^*}^t\).
