ユニタリマトリックス（行列）のトランスポーズ（転置）はユニタリであることの記述/証明
話題
About: マトリックス（行列）たちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユニタリマトリックス（行列）の定義を知っている。
- 読者は、任意のコンプレックス（複素）マトリックス（行列）に対して、当該マトリックス（行列）のトランスポーズ（転置）のエルミートコンジュゲート（共役）は当該マトリックス（行列）のエルミートコンジュゲート（共役）のトランスポーズ（転置）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）に対して、任意のマトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のトランスポーズ（転置）は、当該構成要素たちのトランスポーズ（転置）たちの逆順によるプロダクト（積）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の、\(n \times n\)フィールド（体）マトリックス（行列）たちのリング（環）に対して、もしも、任意の要素に任意の別要素を左または右から掛けたものが\(1\)である場合、当該別要素はインバース（逆）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のユニタリマトリックス（行列）のトランスポーズ（転置）はユニタリであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのユニタリマトリックス（行列）たち } \}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(M^t \in \{\text{ 全てのユニタリマトリックス（行列）たち } \}\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \({M^t}^* M^t = I\).
Step 1:
\({M^t}^* M^t = {M^*}^t M^t\), by the proposition that for any complex matrix, the Hermitian conjugate of the transpose of the matrix is the transpose of the Hermitian conjugate of the matrix, \(= (M M^*)^t\), by the proposition that for any commutative ring, the transpose of the product of any matrices is the product of the transposes of the constituents in the reverse order, \(= I^t\), because \(M\) is unitary, \(= I\).
\({M^t}^* = {M^t}^{- 1}\), by the proposition that for any ring of \(n \times n\) field matrices, if any element multiplied by any another element from left or right is \(1\), the another element is the inverse of the element.
So, \(M^t\) is unitary.
