トポロジカルスペース（空間）に対して、サブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq T\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S \in \{\text{ 全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\}\)
\(\iff\)
\(\overline{S} = S\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: suppose that \(S\) is closed; Step 2: see that \(\overline{S} = S\); Step 3: suppose that \(\overline{S} = S\); Step 4: see that \(S\) is closed.
Step 1:
Let us suppose that \(S\) is closed.
Step 2:
\(\overline{S} = \cap \{C \in \{\text{ the closed subsets of } T\} \vert S \subseteq C\}\), by the definition of closure of subset.
\(\overline{S} \subseteq S\), because \(S \in \{C \in \{\text{ the closed subsets of } T\} \vert S \subseteq C\}\).
\(S \subseteq \overline{S}\), because for each \(s \in S\), \(s \in S \subseteq C\) for each \(C \in \{C \in \{\text{ the closed subsets of } T\} \vert S \subseteq C\}\), so, \(s \in \cap \{C \in \{\text{ the closed subsets of } T\} \vert S \subseteq C\} = \overline{S}\).
So, \(\overline{S} = S\).
Step 3:
Let us suppose that \(\overline{S} = S\).
Step 4:
\(\overline{S} = \cap \{C \in \{\text{ the closed subsets of } T\} \vert S \subseteq C\}\), by the definition of closure of subset.
\(\overline{S}\) is closed, by the proposition that the intersection of any possibly uncountable number of closed sets or the union of any finite number of closed sets is closed.
So, \(S = \overline{S}\) is closed.
