ユニタリマトリックス（行列）のインバーティブルマトリックス（可逆行列）によるコンジュゲート（共役）は必ずしもユニタリでないことの記述/証明
話題
About: マトリックス（行列）たちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユニタリマトリックス（行列）の定義を知っている。
- 読者は、マトリックス（行列）のインバーティブル（可逆）マトリックス（行列）によるコンジュゲート（共役）の定義を知っている。
- 読者は、任意のユニタリマトリックス（行列）の各コンポーネントは絶対値\(1\)以下を持つという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、あるユニタリマトリックス（行列）のあるインバーティブルマトリックス（可逆行列）によるコンジュゲート（共役）は必ずしもユニタリでないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのユニタリマトリックス（行列）たち }\}\)
\(N\): \(\in \{\text{ 全てのインバーティブルマトリックス（可逆行列）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
必ずしも以下ではない、つまり、"\(N M N^{- 1} \in \{\text{ 全てのユニタリマトリックス（行列）たち }\}\)"
//
2: 注
任意のユニタリマトリックス（行列）の任意のユニタリマトリックス（行列）によるコンジュゲート（共役）はユニタリであるという命題と比較のこと。
あるポイントは、あるベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）はその代表マトリックス（行列）がユニタリであることによって特徴付けられない: それはベーシス（基底）に依存する: モジュール（加群）で任意の同一ファイナイト（有限）カーディナリティ（濃度）の任意の\(2\)個のベーシス（基底）たちを持つ任意のものおよび任意のモジュール（加群）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、当該ベーシス（基底）たちの変更に関する当該エンドモーフィズム（自己準同形写像）マトリックス（行列）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を参照のこと; もちろん、あるベーシス（基底）が既に選ばれている場合、任意のエンドモーフィズム（自己準同形写像）は当該ベーシス（基底）に関してその代表マトリックス（行列）がユニタリであることによって特徴付けることができる。
特に、\(V\)がある\(d\)-ディメンショナル（次元）\(\mathbb{C}\)ベクトルたちスペース（空間）で\(g: GL (V) \to M_d (\mathbb{C})^{\times}\)が任意のモジュール（加群）で任意の\(d\)-要素たちベーシス（基底）を持つものおよび当該モジュール（加群）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）に対して、当該ジェネラルリニア（線形）グループ（群）からインバーティブル（可逆）\(d \times d\)リング（環）マトリックス（行列）たちのグループ（群）の上への、当該ベーシス（基底）に関するカノニカル（正典）'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）があるという命題内で定義された'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である時、確かに、\(U (d) \subset M_d (\mathbb{C})^{\times}\)はあるサブグループ（部分群）であり\(g^{- 1} (U (d)) \subseteq GL (V)\)はあるサブグループ（部分群）である、しかし、\(g^{- 1} (U (d))\)はベーシス（基底）の選択に依存する、なぜなら、\(g^{- 1} (M)\)は別のベーシス（基底）に関して(N M N^{- 1}\)によって代表される、ところが、\(N M N^{- 1}\)は必ずしもユニタリではない。したがって、"\(U (d)\)は\(GL (V)\)のあるサブグループ（部分群）である。"というのは妙である、もしも、それは、\(g^{- 1} (U (d))\)は\(GL (V)\)のあるサブグループ（部分群）であることを意味すると解釈されたとしても、当該ベーシス（基底）が指定されない限りは。
任意のコンプレックス（複素）ユークリディアンノルム付きコンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）からそれ自体の中への任意のリニアマップ（線形写像）に対して、当該マップ（写像）はオーソゴーナル（直交）である、もしも、カノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はユニタリである場合、そしてその場合に限って、という命題および任意のユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）からそれ自体への任意のリニアマップ（線形写像）に対して、当該マップ（写像）はオーソゴーナル（直交）である、もしも、カノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はオーソゴーナル（直交）である場合、そしてその場合に限って、という命題があるところ、それらは、カノニカル（正典）ベーシス（基底）たちが選ばれているが故である。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: see a counterexample.
Step 1:
Let \(M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}\) and \(N = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\).
\(M\) is indeed unitary, because \(M^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}\) and \(M^* M = M M^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix} = I\).
\(N\) is indeed invertible, because \(N^{- 1} = \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\).
\(N M N^{- 1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & - 2 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}\), which is not unitary, by the proposition that each component of any unitary matrix has an absolute value equal to or smaller than \(1\).
