クォータニオン（4元数）ユークリディアンモジュール（加群）のカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）のグラム-シュミットオーソノーマライゼーション（正規直交化）の定義
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、クォータニオン（4元数）ユークリディアンモジュール（加群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、クォータニオン（4元数）ユークリディアンモジュール（加群）のカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）のグラム-シュミットオーソノーマライゼーション（正規直交化）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\( \mathbb{H}^n\): \(= \{\text{ 当該クォータニオン（4元数）ユークリディアンモジュール（加群） }\}\)で、各要素をある行とみなしたもの
\( S\): \(\in \{\mathbb{H}^n \text{ の全てのカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）たち }\}\), \(= \{s^1, s^2, ...\}\)
\(*\widetilde{S}\): \(\in \{\mathbb{H}^n \text{ の全てのカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）たち }\}\), \(= \{b^1, b^2, ...\}\)、下で指定されるように、それは、\(b^j {b^l}^* = \delta^j_l\)を満たす
//
コンディションたち:
\(b^n\)は、インダクティブ（帰納的）に定義される:
\(\{\}\)は、既に\(\{\}\)から決定されている
\(\{b^1, ..., b^{n - 1}\}\)は既に\(\{s^1, ..., s^{n'}\}\)から決定されている、と仮定する
以下を満たす最小の\(\{s^1, ..., s^{n''}\}\)、つまり、\(n' \lt n''\)および\(\{b^1, ..., b^{n - 1}, s^{n''}\}\)はリニアにインディペンデント（線形独立）である、がある時、\(b^n := 1 / \sqrt{(s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j) (s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j)^*} (s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j)\)、そして、\(\{b^1, ..., b^n\}\)は、\(\{s^1, ..., s^{n''}\}\)から決定された
そうでなければ、インダクション（帰納）は完了した、そして、\(\widetilde{S} := \{b^1, ..., b^{n - 1}\}\)
//
"カウンタブル（可算）"は、それがインフィニット（無限）であることを意味しない: 任意のファイナイト（有限）セット（集合）はカウンタブル（可算）である。
2: 注
注意として、\(1 / \sqrt{(s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j) (s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j)^*}\)は妥当である、なぜなら、\(s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j \neq 0\)、なぜなら、そうでなかったら、\(\{b^1, ..., b^{n - 1}, s^{n''}\}\)はリニアにインディペンデント（線形独立）でないことになる、そして、\(\sqrt{(s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j) (s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j)^*}\)は\(s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j\)のノルム、クォータニオン（4元数）ユークリディアンモジュール（加群）の定義内に言及された、である。
実のところ、"オーソノーマル（正規直交）"は、当該単語の奇妙な使用法である、なぜなら、それは、あるインナープロダクト（内積）に関するものである、ところが、\(\mathbb{H}^n\)はインナープロダクト（内積）を持たない、なぜなら、'インナープロダクト（内積）'は、リアル（実）およびコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）たちに対してのみ定義されている、しかし、"オーソノーマル（正規直交）"は、\(b^j {b^l}* = \delta^j_l\)を意味するように悪用されている。
しばしば、\(S\)はリニアにインディペンデント（線形独立）であると仮定される、しかし、本定義は、\(S\)がリニアにインディペンデント（線形独立）であるよう要求しない。
\(S\)がリニアにインディペンデント（線形独立）である時は、各\(\{b^1, ..., b^n\}\)は\(\{s^1, ..., s^n\}\)から決定される、なぜなら、\(\{b^1, ..., b^{n - 1}, s^n\}\)はリニアにインディペンデント（線形独立）である、なぜなら、\(h_1 b^1 + ... + h_{n - 1} b^{n - 1} + h_n s^n = 0\)に対して、\(h_1 b^1 + ... + h_{n - 1} b^{n - 1}\)は\(\{s^1, ..., s^{n - 1}\}\)のあるリニアコンビネーション（線形結合）であるから、\(h_n = 0\)、なぜなら、\(\{s^1, ..., s^n\}\)はリニアにインディペンデント（線形独立）である、したがって、\(h_1 b^1 + ... + h_{n - 1} b^{n - 1} = 0\)、それが含意するのは、\(h_j\)たちは\(0\)であること、なぜなら、\((h_1 b^1 + ... + h_{n - 1} b^{n - 1}) {b^j}^* = 0 {b^j}^* = 0\)、各\(j \in \{1, ..., n - 1\}\)に対して、そして、左辺は、\(h_j\)。
したがって、\(S\)がリニアにインディペンデント（線形独立）である時は、\(\widetilde{S}\)のカーディナリティ（濃度）は\(S\)のカーディナリティ（濃度）に等しい。
\(\widetilde{S}\)はオーソノーマル（正規直交）であることを見よう、インダクティブ（帰納的）に。
各\(p \times q\) \(\mathbb{H}\)マトリックス（行列）\(M_1\)および各\(q \times r\) \(\mathbb{H}\)マトリックス（行列）\(M_2\)に対して、\((M_1 M_2)^* = {M_2}^* {M_1}^*\)、任意のクォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のクォータニオン（4元数）コンジュゲート（共役）トランスポーズ（転置）は当該構成要素たちのクォータニオン（4元数）コンジュゲート（共役）トランスポーズ（転置）たちの逆順によるプロダクト（積）であるという命題によって、それは、これ以降使われる、これ以上言及されること無く。
\(\{b^1\}\)に対して、\(b^1 {b^1}^* = 1 / \sqrt{s^{n''} {s^{n''}}^*} s_{n''} (1 / \sqrt{s^{n''} {s^{n''}}^*} s_{n''})^* = 1 / \sqrt{s^{n''} {s^{n''}}^*} s_{n''} (s_{n''}^* (1 / \sqrt{s^{n''} {s^{n''}}^*})^*) = 1 / \sqrt{s^{n''} {s^{n''}}^*}^2 s_{n''} s_{n''}^*\)、それは、可能である、なぜなら、\(1 / \sqrt{s^{n''} {s^{n''}}^*}\)はリアル（実）であり任意のリアルナンバー（実数）は\(\mathbb{H}\)内で乗法上コミュータティブ（可換）である、\(= 1 / (s^{n''} {s^{n''}}^*) s_{n''} {s_{n''}}^* = 1\)。
したがって、\(\{b^1\}\)はオーソノーマル（正規直交）である。
\(\{b^1, b^2\}\)に対して、\(b^2 {b^1}^* = (1 / \sqrt{(s^{n''} - (s^{n''} {b^1}^*) b^1) (s^{n''} - (s^{n''} {b^1}^*) b^1)^*} (s^{n''} - (s^{n''} {b^1}^*) b^1)) {b^1}^* = 1 / \sqrt{(s^{n''} - (s^{n''} {b^1}^*) b^1) (s^{n''} - (s^{n''} {b^1}^*) b^1)^*} (s^{n''} - (s^{n''} {b^1}^*) b^1) {b^1}^* = 1 / \sqrt{(s^{n''} - (s^{n''} {b^1}^*) b^1) (s^{n''} - (s^{n''} {b^1}^*) b^1)^*} (s^{n''} {b^1}^* - (s^{n''} {b^1}^*) b^1 {b^1}^*) = 1 / \sqrt{(s^{n''} - (s^{n''} {b^1}^*) b^1) (s^{n''} - (s^{n''} {b^1}^*) b^1)^*} (s^{n''} {b^1}^* - (s^{n''} {b^1}^*) 1) = 0\); \(b^1 {b^2}^* = (b^2 {b^1}^*)^* = 0^* = 0\)。
\(b^2 {b^2}^* = (1 / \sqrt{(s^{n''} - (s^{n''} {b^1}^*) b^1) (s^{n''} - (s^{n''} {b^1}^*) b^1)^*} (s^{n''} - (s^{n''} {b^1}^*) b^1)) (1 / \sqrt{(s^{n''} - (s^{n''} {b^1}^*) b^1) (s^{n''} - (s^{n''} {b^1}^*) b^1)^*} (s^{n''} - (s^{n''} {b^1}^*) b^1))^* = 1 / \sqrt{(s^{n''} - (s^{n''} {b^1}^*) b^1) (s^{n''} - (s^{n''} {b^1}^*) b^1)^*}^2 (s^{n''} - (s^{n''} {b^1}^*) b^1) (s^{n''} - (s^{n''} {b^1}^*) b^1)^* = 1 / ((s^{n''} - (s^{n''} {b^1}^*) b^1) (s^{n''} - (s^{n''} {b^1}^*) b^1)^*) (s^{n''} - (s^{n''} {b^1}^*) b^1) (s^{n''} - (s^{n''} {b^1}^*) b^1)^* = 1\)。
したがって、\(\{b^1, b^2\}\)はオーソノーマル（正規直交）である。
\(\{b^1, ..., b^{n - 1}\}\)はオーソノーマル（正規直交）であると仮定しよう。
\(\{b^1, ..., b^n\}\)に対して、各\(1 \le l \le n - 1\)に対して、\(b^n {b^l}^* = 1 / \sqrt{(s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j) (s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j)^*} (s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j) {b^l}^* = 1 / \sqrt{(s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j) (s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j)^*} (s^{n''} {b^l}^* - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j {b^l}^*) = 1 / \sqrt{(s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j) (s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j)^*} (s^{n''} {b^l}^* - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) \delta^j_l)\)、なぜなら、\(\{b^1, ..., b^{n - 1}\}\)はオーソノーマル（正規直交）である、\(= 1 / \sqrt{(s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j) (s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j)^*} (s^{n''} {b^l}^* - (s^{n''} {b^l}^*) 1)\)、\(= 1 / \sqrt{(s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j) (s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j)^*} (s^{n''} {b^l}^* - (s^{n''} {b^l}^*)) = 0\); \(b^l {b^n}^* = (b^n {b^l}^*)^* = 0^* = 0\)。
\(b_n {b_n}^* = (1 / \sqrt{(s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j) (s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j)^*} (s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j)) (1 / \sqrt{(s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j) (s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j)^*} (s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j))^* = 1/ \sqrt{(s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j) (s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j)^*}^2 (s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j) (s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j)^* = 1/ ((s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j) (s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j)^*) (s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j) (s^{n''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n''} {b^j}^*) b^j)^* = 1\)。
したがって、\(\{b^1, ..., b^n\}\)はオーソノーマル（正規直交）である。
そこで、\(b^l, b^m \in \widetilde{S}\)を\(l \neq m\)を満たす任意のものとしよう。
\(l \lt m\)としよう、一般性を失わうことなく。
したがって、\(b^l, b^m \in \{b^1, ..., b^m\}\)。
\(\{b^1, ..., b^m\}\)はオーソノーマル（正規直交）であるから、\(b_l {b_m}^* = 0\); \(b_m {b_l}^* = (b_l {b_m}^*)^* = 0^* = 0\)。
\(b_l {b_l}^* = 1\)。
各\(\{b^1, ..., b^n\}\)は\(\{s^1, ..., s^{n''}\}\)から決定されたところ、各\(s^j \in \{s_1, ..., s_{n''}\}\)は\(\{b^1, ..., b^n\}\)のあるリニアコンビネーション（線形結合）である。
それをインダクティブ（帰納的）に見よう。
\(\{b^1\}\)は\(\{s^1, ..., s^{n''}\}\)から決定されたところ、もしも、\(1 \lt n''\)である場合、それは、\(s^1 = 0\)を意味する、そして、不可避に、\(n'' = 2\)および\(s_{n''} \neq 0\)（任意のセット（集合）は重複を許さないので）、そして、\(b^1 = 1 / \sqrt{s^{n''} {s^{n''}}^*} s^{n''}\)、したがって、\(s^{n''} = \sqrt{s^{n''} {s^{n''}}^*} b^1\)、その一方、\(s^1 = 0 = 0 b^1\)も\(\{b^1\}\)のあるリニアコンビネーション（線形結合）である; もしも、\(n'' = 1\)である場合、それは、単に、\(s_{n''} = \sqrt{(s^{n''}) {s^{n''}}^*} b_1\)である。
\(\{b^1, ..., b^{n - 1}\}\)は\(\{s^1, ..., s^{n''}\}\)から決定され、各\(s^j \in \{s^1, ..., s^{n''}\}\)は\(\{b^1, ..., b^{n - 1}\}\)のあるリニアコンビネーション（線形結合）であると仮定しよう。
\(\{b^1, ..., b^n\}\)は\(\{s^1, ..., s^{n'''}\}\)から決定され、各\(s^j \in \{s_1, ..., s_{n'''}\}\)は\(\{b^1, ..., b^n\}\)のあるリニアコンビネーション（線形結合）であると仮定しよう。
\(s^1, ... s^{n''}\)の各々は、\(\{b^1, ..., b^{n - 1}\}\)のあるリニアコンビネーション（線形結合）である、したがって、\(\{b^1, ..., b^n\}\)のあるリニアコンビネーション（線形結合）である。
\(s_{n'' + 1}, ..., s_{n''' - 1}\)の各々（もしも、あれば）は、\(\{b^1, ..., b^{n - 1}\}\)のあるリニアコンビネーション（線形結合）である、したがって、\(\{b^1, ..., b^n\}\)のあるリニアコンビネーション（線形結合）である。
\(b^n = 1 / \sqrt{(s^{n'''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n'''} {b^j}^*) b^j) (s^{n'''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n'''} {b^j}^*) b^j)^*} (s^{n'''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n'''} {b^j}^*) b^j)\)であるから、\(s^{n'''} = \sqrt{(s^{n'''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n'''} {b^j}^*) b^j) (s^{n'''} - \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n'''} {b^j}^*) b^j)^*} b^n + \sum^{n - 1}_{j = 1} (s^{n'''} {b^j}^*) b^j\)は\(\{b^1, ..., b^n\}\)のあるリニアコンビネーション（線形結合）である。
したがって、各\(s^j \in \{s^1, ..., s^{n'''}\}\)は\(\{b^1, ..., b^n\}\)のあるリニアコンビネーション（線形結合）である。
したがって、インダクションプリンシパル（帰納法）によって、当該主張は確認された。
