クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のクォータニオン（4元数）コンジュゲート（共役）トランスポーズ（転置）は構成要素たちのクォータニオン（4元数）コンジュゲート（共役）トランスポーズ（転置）たちの逆順によるプロダクト（積）であることの記述/証明
話題
About: マトリックス（行列）たちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のクォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のクォータニオン（4元数）コンジュゲート（共役）トランスポーズ（転置）は当該構成要素たちのクォータニオン（4元数）コンジュゲート（共役）トランスポーズ（転置）たちの逆順によるプロダクト（積）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\{M\}\): \(= \text{ 当該 } \mathbb{H} \text{ マトリックス（行列）たちスペース（空間） }\)
\(M_1\): \(\in \{M\} \cap \{\text{ 全ての } n_1 \times n_2 \text{ マトリックス（行列）たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{M\} \cap \{\text{ 全ての } n_2 \times n_3 \text{ マトリックス（行列）たち }\}\)
...
\(M_m\): \(\in \{M\} \cap \{\text{ 全ての } n_m \times n_{m + 1} \text{ マトリックス（行列）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\((M_1 ... M_m)^* = {M_m}^* ... {M_1}^*\)
//
2: Proof
Whole Strategy: prove it inductively with respect to \(m\); Step 1: see it for \(m = 2\); Step 2: suppose that it holds for \(m = m' - 1\) and see that it holds for \(m = m'\); Step 3: conclude the proposition.
Step 1:
Let \(m = 2\).
\({(M_1 M_2)^*}^j_l = \overline{(M_1 M_2)^l_j} = \overline{{M_1}^l_p {M_2}^p_j} = \overline{{M_2}^p_j} \overline{{M_1}^l_p}\), by Note for the definition of quaternions division associative algebra, \(= {{M_2}^*}^j_p {{M_1}^*}^p_l = ({M_2}^* {M_1}^*)^j_l\).
So, \((M_1 M_2)^* = {M_2}^* {M_1}^*\).
Step 2:
Let us suppose that the proposition holds for \(m = m' - 1\) where \(3 \le m'\).
Let us think of \(m = m'\).
\((M_1 ... M_{m'})^* = ((M_1 ... M_{m' - 1}) M_{m'})^* = {M_{m'}}^* (M_1 ... M_{m' - 1})^*\), by the \(m = 2\) case, \(= {M_{m'}}^* ({M_{m' - 1}}^* ... {M_1}^*)\), by the \(m = m' - 1\) case, \(= {M_{m'}}^* ... {M_1}^*\).
So, the proposition holds for \(m = m'\).
Step 3:
By the induction principle, the proposition holds for each \(m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\).
