クォータニオン（4元数）ユークリディアンモジュール（加群）の定義
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトモジュール（加群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、クォータニオン（4元数）ユークリディアンモジュール（加群）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(*\mathbb{H}^n\): \(\in \{\text{ 全ての } \mathbb{H} \text{ モジュール（加群）たち }\}\)で、下で指定されるアディション（加法）およびスカラーマルチプリケーション（乗法）を持つもの
//
コンディションたち:
\(\forall m^1, m^2 \in \mathbb{H}^n (\forall j \in \{1, ..., n\} ((m^1 + m^2)_j = {m^1}_j + {m^2}_j))\)
\(\land\)
\(\forall h \in \mathbb{H}, \forall m \in \mathbb{H}^n (\forall j \in \{1, ..., n\} ((h m)_j = h m_j))\)
//
各\(m \in \mathbb{H}^n\)に対して、\(\sqrt{m m^*}\)を、"\(m\)のノルム"と呼ぼう。
2: 注
スカラーマルチプリケーション（乗法）は、 \((h m)_j = m_j h\)として定義できない、なぜなら、それは、コンディション9)の違反となることになる: \(((h_1 h_2) . m)_j = m_j h_1 h_2\)、その一方、\((h_1 . (h_2 . m))_j = (h_2 . m)_j h_1 = (m_j h_2) h_1 = m_j h_2 h_1\)、それらは、一般には等しくないことになる。
\(\mathbb{H}^n\)は、本当に、ある\(\mathbb{H}\)モジュール（加群）である\(n\)要素たちベーシス（基底）を持つ、なぜなら、\(\mathbb{H}\)はある\(\mathbb{H}\)モジュール（加群）である\(1\)要素ベーシス（基底）を持つ、任意のリング（環）はカノニカル（正典）にあるモジュール（加群）で、ある\(1\)-要素ベーシス（基底）を持つという命題によって、そして、\(\mathbb{H}^n\)は、プロダクトモジュール（加群）に他ならない、そして、モジュール（加群）たちでベーシス（基底）たちを持つものたちの任意のファイナイト（有限）プロダクトモジュール（加群）はこのベーシス（基底）を持つという命題が適用される。
\(\mathbb{H}^n\)は、行たちのセット（集合）とも列たちのセット（集合）ともみなすことができる、しかし、それは、通常、行たちのセット（集合）とみなすと便利である、なぜなら、\(\mathbb{H}^n\)の各要素は、当該要素の\(\mathbb{H}^n\)のカノニカル（正典）ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）とみなすことができ、 通常は、あるモジュール（加群）一般のある要素のコンポーネントたちセット（集合）は、行とみなすと便利である、以下の理由によって。
何らかのリング（環）モジュール（加群）たち間あるリニアマップ（線形写像）\(f: M_1 \to M_2\)のことを考える時、\(M_1\)および\(M_2\)の任意のベーシス（基底）たちに関して、\(f\)はある\(n \times n\)リング（環）マトリックス（行列）によって代表される、\(f ({m_1}_j {b_1}^j) = {m_1}_j M^j_l {b_2}^l\)として、任意の同一リング（環）上方の、モジュール（加群）で任意の\(d_1\)個要素たちベーシス（基底）を持つ任意のものからモジュール（加群）で任意の\(d_2\)個要素たちベーシス（基底）を持つ任意のものの中への任意のマップ（写像）に対して 、当該マップ（写像）はリニア（線形）である、もしも、当該マップ（写像）は当該\(d_1 \times d_2\)リング（環）マトリックス（行列）によって代表される場合、そしてその場合に限って、という命題によって、そして、その左辺は、当該行と当該マトリックス（行列）のマルチプリケーション（積）当該みなすことができるが、当該マトリックス（行列）と当該列のマルチプリケーション（積）とみなすことはできない、なぜなら、当該リング（環）はコミュータティブ（可換）ではない、一般に。
'ノルム'は、リアル（実）およびコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）たち上でのみ定義されているので、ここでの"ノルム"は当該単語の悪用である、しかし、毎回、\(\sqrt{m m^*}\)を"当該要素に当該要素のクォータニオン（4元数）コンジュゲート（共役）トランスポーズ（転置）を掛けたもののスクウェアルート（平方根）"と呼ぶのは煩わしいので、私たちはあえてそれを"ノルム"と呼ぶ、なぜなら、私たちはそれに対する広く流通している用語を知らない。
\(\sqrt{m m^*}\)は妥当である、なぜなら、\(0 \le m m^*\)、なぜなら、\(m m^* = m_j {m^*}^j = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} m_j \overline{m_j} = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} \vert m_j \vert^2\)、それは、非ネガティブ（負）リアル（実）である。
\(\mathbb{H}^n\)上の"ノルム"は、以下のプロパティたちを持つ。
\(0 \le \sqrt{m m^*}\)、および\(\sqrt{m m^*} = 0\)は、もしも、\(m = 0\)である場合、そしてその場合に限って、なぜなら、\(m m^* = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} \vert m_j \vert^2\)。
各\(h \in \mathbb{H}\)および各\(m \in \mathbb{H}^n\)に対して、\(\sqrt{(h m) (h m)^*} = \vert h \vert \sqrt{m m^*}\)、なぜなら、\(\sqrt{(h m) (h m)^*} = \sqrt{(h m) m^* h^*}\)、任意のクォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のクォータニオン（4元数）コンジュゲート（共役）トランスポーズ（転置）は当該構成要素たちのクォータニオン（4元数）コンジュゲート（共役）トランスポーズ（転置）たちの逆順によるプロダクト（積）であるという命題によって、\(= \sqrt{h (m m^*) \overline{h}} = \sqrt{h \overline{h} (m m^*)}\)、なぜなら、\(m m^*\)はリアル（実）である、\(= \sqrt{\vert h \vert^2 (m m^*)} = \vert h \vert \sqrt{m m^*}\)。
