ディビジョン（除算持ち）リング（環）上方のモジュール（加群）でファイナイト（有限）ベーシス（基底）を持つものに対して、リニアにインディペンデント（線形独立）なサブセット（部分集合）は、ベーシス（基底）のいくつかの要素たちを追加してベーシス（基底）にできることの記述/証明
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、モジュール（加群）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のディビジョン（除算持ち）リング（環）上方のモジュール（加群）で任意のファイナイト（有限）ベーシス（基底）を持つ任意のものに対して、リニアにインディペンデント（線形独立）なサブセット（部分集合）は、ベーシス（基底）のいくつかの要素たちを追加してベーシス（基底）にできるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのディビジョン（除算持ち）リング（環）たち }\}\)
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)で、任意のベーシス（基底）\(B = \{b^1, ..., b^n\}\)を持つもの
\(S\): \(\in \{M \text{ の全てのリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists B^` \subseteq B (S \cup B^` \in \{M \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\})\)
//
2: 注
実のところ、不可避に、\(\vert S \vert \le n\)、任意のディビジョン（除算持ち）リング（環）上方任意のモジュール（加群）で任意のファイナイト（有限）ベーシス（基底）を持つものに対して、より大きいカーディナリティ（濃度）を持つベーシス（基底）はないという命題によって、なぜなら、そうでなかったら、カーディナリティ（濃度）が\(n\)より大きいあるベーシス（基底）があることになる、矛盾。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: iteratively add an element of \(B\) to \(S\) to keep it still linearly independent; Step 3: see that eventually, the augmented \(S\) (called "S'") will be a basis.
Step 1:
If \(S\) does not span \(M\), let us add to \(S\) the 1st element of \(B\) such that the augmented subset is linearly independent, \(b^{j_1}\), calling the result \(S'\): such an \(b^{j_1}\) exists, because otherwise, for each \(j \in \{1, ..., n\}\), \(r_1 s^1 + ... + r_m s^m + r b^j = 0\) would have a not-all-are-\(0\) coefficients set, but in fact, \(r \neq 0\), because otherwise, \(r_1 s^1 + ... + r_m s^m = 0\) would have a not-all-are-\(0\) coefficients set, a contradiction against that \(S\) was linearly independent, then, \(b^j = r^{- 1} (- r_1 s^1 - ... - r_m s^m)\), so, \(S\) would span \(M\), because each element of \(M\) was a linear combination of \(B\), which would be a linear combination of \(S\).
If \(S'\) does not span \(M\), let us add to \(S'\) the next 1st element of \(B\) such that the augmented subset is linearly independent, \(b^{j_2}\), calling the result again \(S'\): such a \(b^{j_2}\) exists, because otherwise, for each \(j \in \{1, ..., n\} \setminus \{j_1\}\), \(r_1 s^1 + ... + r_m s^m + r'_1 b^{j_1} + r b^j = 0\) would have a not-all-are-\(0\) coefficients set, but in fact, \(r \neq 0\), because otherwise, \(r_1 s^1 + ... + r_m s^m + r'_1 b^{j_1} = 0\) would have a not-all-are-\(0\) coefficients set, a contradiction against that \(S'\) was linearly independent, then, \(b^j = r^{- 1} (- r_1 s^1 - ... - r_m s^m - r'_1 b^{j_1})\), so, \(S'\) would span \(M\), because each element of \(M\) was a linear combination of \(B\), which would be a linear combination of \(S'\).
And so on until all the possible element of \(B\) have been added.
Step 3:
After all, \(S'\) spans \(M\), because all the elements of \(B\) are some linear combinations of \(S'\), because while the elements added into \(S'\) are some linear combinations of \(S'\), all the other elements did not added into \(S'\) because they were already some linear combinations of \(S'\), and each element of \(M\) is a linear combination of \(B\), which is a linear combination of \(S'\).
\(S'\) is linearly independent and spans \(M\), so, is a basis of \(M\).
