コンプレックス（複素）ユークリディアンノルム付きコンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）に対して、要素のノルムは、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の対応する要素のノルムであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンプレックス（複素）ユークリディアンノルム付きコンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンプレックス（複素）ユークリディアンノルム付きコンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）に対して、各要素のノルムは、対応するユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の対応する要素のノルムであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(\mathbb{C}^n\): \(= \text{ 当該コンプレックス（複素）ユークリディアンノルム付きコンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間） }\), \(= \text{ 当該コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(\mathbb{R}^{2 n}\): \(= \text{ 当該ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間） }\), \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(f\): \(: \mathbb{C}^n \to \mathbb{R}^{2 n}\), \(= \text{ ホメオモーフィズム（位相同形写像） }\)、それによって、\(\mathbb{C}^n\)のトポロジーが定義されている
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall t \in \mathbb{C}^n (\Vert t \Vert = \Vert f (t) \Vert)\)
//
2: 注
実のところ、"トポロジー"は本命題に何の関係もない、\(f\)は、\(\mathbb{C}^n\)のトポロジーの定義から来ているものであるが。
したがって、任意の\(t, t' \in \mathbb{C}^n\)に対して、もしも、\(\Vert t \Vert = \Vert t' \Vert\)である場合、\(\Vert f (t) \Vert = \Vert t \Vert = \Vert t' \Vert = \Vert f (t') \Vert\)。
例えば、任意のユニタリ\(n \times n\)マトリックス（行列）\(M \in U (n)\)に対して、\(\Vert t M \Vert = \sqrt{t M (t M)^*} = \sqrt{t M M^* t^*} = \sqrt{t I t^*} = \sqrt{t t^*} = \Vert t \Vert\)、したがって、\(\Vert f (t M) \Vert = \Vert f (t) \Vert\)。
以下を満たす各\(r \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \le r\)、に対して、\(\{t \in \mathbb{C}^n \vert \Vert t \Vert = r\}\)は\(f\)によってバイジェクティブ（全単射）に\(\{v \in \mathbb{R}^{2 n} \vert \Vert v \Vert = r\}\)へマップされる。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(f (a_1 + b_1 i, ..., a_n + b_n i) = (a_1, b_1, ..., a_n, b_n)\); Step 2: conclude the proposition.
Step 1:
For each \(t \in \mathbb{C}^n\), \(t = (a_1 + b_1 i, ..., a_n + b_n i)\).
\(f (t) = (a_1, b_1, ..., a_n, b_n)\), by definition.
Step 2:
\(\Vert t \Vert = \Vert (a_1 + b_1 i, ..., a_n + b_n i) \Vert = \sqrt{(a_1 + b_1 i) \overline{a_1 + b_1 i} + ... + (a_n + b_n i) \overline{a_n + b_n i}} = \sqrt{{a_1}^2 + {b_1}^2 + ... + {a_n}^2 + {b_n}^2} = \Vert (a_1, b_1, ..., a_n, b_n) \Vert = \Vert f (t) \Vert\).
