トポロジカルグループ（群）アクションに対して、アクションのサブグループ（部分群）トポロジカルサブスペース（部分空間）およびトポロジカルサブスペース（部分空間）に関する妥当なリストリクション（制限）はトポロジカルグループ（群）アクションであることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルグループ（群）左アクションの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルグループ（群）右アクションの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルグループ（群）に対して、任意のサブグループ（部分群）でトポロジカルサブスペース（部分空間）としたものはあるトポロジカルグループ（群）であるという命題を認めている。
- 読者は、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のインデックス付きトポロジカルスペース（空間）たちまたは有限数の任意のトポロジカルスペース（空間）たち、およびそれらのサブスペース（部分空間）たちに対して、当該サブスペース（部分空間）たちのプロダクトはベーススペース（空間）たちのプロダクトのサブスペース（部分空間）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルグループ（群）左または右アクションに対して、当該アクションの任意のサブグループ（部分群）トポロジカルサブスペース（部分空間）および任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に関する任意の妥当なリストリクション（制限）はあるトポロジカルグループ（群）左または右アクションであるという命題の記述および証明を得る
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( G'\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルグループ（群）たち }\}\)
\( T'\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\( f'_l\): \(: G' \times T' \to T'\), \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルグループ（群）左アクションたち }\}\)
\( f'_r\): \(: T' \times G' \to T'\), \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルグループ（群）右アクションたち }\}\)
\( G\): \(\in \{G' \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\} \cap \{G' \text{ の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\( T\): \(\in \{T' \text{ の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(f_l: G \times T \to T, f'_l \text{ のリストリクション（制限）として }, \text{ は妥当である }\)
\(\implies\)
\(f_l \in \{\text{ 全てのトポロジカルグループ（群）左アクションたち }\}\)
)
\(\land\)
(
\(f_r: T \times G \to T, f'_r \text{ のリストリクション（制限）として }, \text{ は妥当である }\)
\(\implies\)
\(f_r \in \{\text{ 全てのトポロジカルグループ（群）右アクションたち }\}\)
)
//
"妥当である"が意味するのは、当該マップ（写像）は本当に当該コドメイン（余域）の中へのものであるということ。
2: 注
\(T = T'\)である時は、\(f_l\)および\(f_r\)は、確かに、妥当である、したがって、\(f_l\)および\(f_r\)は何らかのトポロジカルグループ（群）アクションたちである。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(G\) is a topological group; Step 2: see that \(f_l\) and \(f_r\) are group actions; Step 3: see that \(f_l\) and \(f_r\) are continuous; Step 4: conclude the proposition.
Step 1:
\(G\) is a topological group, by the proposition that for any topological group, any subgroup as the topological subspace is a topological group.
Step 2:
Let us see that \(f_l\) is a group left action.
For each \(g_1, g_2 \in G\) and each \(t \in T\), \(f_l (g_2, f_l (g_1, t)) = f'_l (g_2, f'_l (g_1, t)) = f'_l (g_2 g_1, t)\), because \(f'_l\) is a group left action, \(= f_l (g_2 g_1, t)\).
For each \(t \in T\), \(f_l (1, t) = f'_l (1, t) = t\), because \(f'_l\) is a group left action.
So, \(f_l\) is a group left action.
Let us see that \(f_r\) is a group right action.
For each \(g_1, g_2 \in G\) and each \(t \in T\), \(f_r (f_r (t, g_1), g_2) = f'_r (f'_r (t, g_1), g_2) = f'_r (s, g_1 g_2)\), because \(f'_r\) is a group right action, \(= f_r (s, g_1 g_2)\).
For each \(t \in T\), \(f_r (t, 1) = f'_r (t, 1) = t\), because \(f'_r\) is a group right action.
So, \(f_r\) is a group right action.
Step 3:
\(f_l\) is continuous, by the proposition that any restriction of any continuous map on the domain and the codomain is continuous: \(G \times T\) is a topological subspace of \(G' \times T'\), by the proposition that for any possibly uncountable number of indexed topological spaces or any finite number of topological spaces and their subspaces, the product of the subspaces is the subspace of the product of the base spaces.
\(f_r\) is continuous, by the proposition that any restriction of any continuous map on the domain and the codomain is continuous: \(T \times G\) is a topological subspace of \(T' \times G'\), by the proposition that for any possibly uncountable number of indexed topological spaces or any finite number of topological spaces and their subspaces, the product of the subspaces is the subspace of the product of the base spaces.
Step 4:
So, \(f_l\) and \(f_r\) are a topological group left action and a topological group right action.
