ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、リニア（線形）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( V\): \(\in \{\text{ 全てのベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(*GL (V)\): \(= \{f: V \to V \vert f \in \{\text{ 全てのリニア（線形）マップ（写像）たち }\} \cap \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}\}\)
//
コンディションたち:
\(GL (V)\)はグループ（群）オペレーション: \(: (f_1, f_2) \mapsto f_1 \circ f_2\)を持つ
//
2: 自然言語記述
任意のベクトルたちスペース（空間）\(V\)に対して、\(V\)から\(V\)の上への全てのリニア（線形）バイジェクション（全単射）たちのセット（集合）とグループ（群）オペレーション: \((f_1, f_2) \mapsto f_1 \circ f_2\)を持つグループ（群）、\(GL (V)\)と表記される
3: 注
それは実際にグループ（群）である、なぜなら、任意の要素たち\(f_1, f_2, f_3 \in GL (V)\)に対して、1) \((f_1 \bullet f_2) \bullet f_3 = f_1 \bullet (f_2 \bullet f_3)\); 2) アイデンティティマップ（恒等写像）\(id: V \to V\)は\(GL (V)\)の中にあり、アイデンティティ（単位）要素である、なぜなら、\(id \bullet f_1 = f_1 \bullet id = f_1\); 3) \(f_1\)のインバース（逆）\(f_1^{-1}: V \to V\)は\(GL (V)\)の中にあり、\(f_1\)のインバース（逆）要素である、なぜなら、\(f_1^{-1} \bullet f_1 = f_1 \bullet f_1^{-1} = id\)。
