48: ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）

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ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）の定義

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
• 読者は、リニア（線形）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールドたち }\}$
$V$: $\in \{\text{ 全ての }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$\ast GL(V)$: $=\{f:V\to V|f\in \{\text{ 全てのリニア（線形）マップ（写像）たち }\}\cap \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}\}$, $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
//

コンディションたち:
$GL(V)$はグループ（群）オペレーション: $:(f_1,f_2)\mapsto f_1\circ f_2$を持つ
//

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2: 注

それは本当にグループ（群）である、なぜなら、任意の要素たち$f_1,f_2,f_3\in GL(V)$に対して、1) $(f_1\bullet f_2)\bullet f_3=f_1\bullet (f_2\bullet f_3)$; 2) アイデンティティマップ（恒等写像）$id:V\to V$は$GL(V)$の中にあり、アイデンティティ（単位）要素である、なぜなら、$id\bullet f_1=f_1\bullet id=f_1$; 3) $f_1$のインバース（逆）$f_1^{-1}:V\to V$は$GL(V)$の中にあり、$f_1$のインバース（逆）要素である、なぜなら、$f_1^{-1}\bullet f_1=f_1\bullet f_1^{-1}=id$。

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参考資料

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