コネクテッド（連結された）トポロジカルマニフォールド（多様体）はパスコネクテッド（連結された）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルマニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルマニフォールドの定義を知っている。
- 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、パスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルマニフォールド（多様体）はパスコネクテッド（連結された）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルマニフォールド（多様体）Mは、パスコネクテッド（連結された）である。
2: 証明
任意のポイント\(p \in M\)に対して、集合Sを、pとパスコネクテッド（連結された）全ポイントとして取ると、それは、オープンセット（開集合）である、なぜなら、任意の\(p_1 \in S\)に対して、ある近傍\(U_{p_1}\)およびホメオモーフィズム（同相写像）\(\phi_1: U_{p_1} \rightarrow U_{\phi_1 (p_1)}\)があり、ここで\(U_{\phi_1 (p_1)}\)は\(\mathbb {R}^n\)上でオープンセット（開集合）であるが、任意のポイント\(p_2 \in U_{p_1}\)はpとパスココネクテッド（連結された）である、なぜなら、\(p_2\)は\(p_1\)とパスコネクテッド（連結された）である（\(\phi_1 (p_2)\)は\(\phi_1 (p_1)\)とパスコネクテッド（連結された）であり、そのパスは\(U_{p_1}\)の中へコンティヌアス（連続）な\(\phi_1^{-1}\)によってマップできる）が、\(p_2\)は\(p_1\)を介してpとパスコネクト（連結）できる、したがって、\(U_{p_1} \subseteq S\)、したがって、オープン（開）であることのローカル基準によって、Sはオープンセット（開集合）である; \(M \setminus S\)もオープンセット（開集合）である、なぜなら、任意の\(p_3 \in M \setminus S\)に対して、ある近傍\(U_{p_3}\)およびホメオモーフィズム（同相写像）\(\phi_2: U_{p_3} \rightarrow U_{\phi (p_3)}\)があり、ここで\(U_{\phi_2 (p_3)}\)は\(\mathbb {R}^n\)上でオープンセット（開集合）であるが、任意のポイント\(p_4 \in U_{p_3}\)はpとパスコネクテッド（連結された）でない、なぜなら、\(p_4\)は\(p_3\)とパスコネクテッド（連結された）である（\(\phi_2 (p_4)\)は\(\phi_2 (p_3)\)とパスコネクテッド（連結された）であり、そのパスは\(U_{p_3}\)の中へコンティヌアス（連続）な\(\phi_2^{-1}\)によってマップできる）が、もしも\(p_4\)がpとパスコネクテッド（連結された）であったとすると、\(p_3\)も\(p_4\)を介してpとパスコネクテッド（連結された）であったことになる、矛盾、したがって、\(U_{p_3} \subseteq M \setminus S\)、したがって、オープン（開）であることのローカル基準によって、\(M \setminus S\)はオープンセット（開集合）である;さて、Sおよび\(M \setminus S\)は共通ポイントを持たず、\(M = S \cup (M \setminus S)\)、Mはコネクテッド（連結された）である、したがって、その2つのサブセット（部分集合）の内の1つは空でなければならないが、Sは少なくともpを含んでいて空でないので、したがって、\(M \setminus S\)が空である。
3: 注
注意として、本命題は、トポロジカルスペース（空間）一般についてではなく、トポロジカルマニフォールド（多様体）についてである。
