コネクテッド（連結された）トポロジカルマニフォールド（多様体）はパスコネクテッド（連結された）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルマニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルマニフォールドの定義を知っている。
- 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、パスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルマニフォールド（多様体）はパスコネクテッド（連結された）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのコネクテッド（連結された）トポロジカルマニフォールド（多様体）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのパスコネクテッド（連結された）トポロジカルマニフォールド（多様体）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルマニフォールド（多様体）\(M\)はパスコネクテッド（連結された）である。
3: 証明
全体戦略: 任意のポイント\(p \in M\)およびサブセット（部分集合）\(S \subseteq M\)を\(p\)とパスコネクテッド（連結された）である全てのポイントたちとして取り、\(S = M\)であることを見る; ステップ1: 任意のポイント\(p \in M\)およびサブセット（部分集合）\(S \subseteq M\)を\(p\)とパスコネクテッド（連結された）である全てのポイントたちとして取る; ステップ2: \(S\)はオープン（開）であることを見る; ステップ3: \(M \setminus S\)はオープン（開）であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
任意のポイント\(p \in M\)に対して、サブセット（部分集合）\(S \subseteq M\)を\(p\)とパスコネクテッド（連結された）である全てのポイントたちとして取る。
ステップ2:
\(S\)はオープン（開）であることを証明しよう。
\(p_1 \in S\)は任意のものであるとしよう。\(p_1\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{p_1} \subseteq M\)およびあるホメオモーフィズム（位相同形写像）\(\phi_{p_1}: U_{p_1} \to U_{\phi_{p_1} (p_1)}\)、ここで、\(U_{\phi_{p_1} (p_1)} \subseteq \mathbb {R}^n\)は\(\mathbb {R}^n\)上でオープン（開）、がある。
以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{\phi_{p_1} (p_1), \epsilon} \subseteq \mathbb {R}^n\)、つまり、\(B_{\phi_{p_1} (p_1), \epsilon} \subseteq U_{\phi_{p_1} (p_1)}\)、がある。\(B_{\phi_{p_1} (p_1), \epsilon}\)は\(U_{\phi_{p_1} (p_1)}\)上でオープン（開）であり、\(\phi_{p_1}^{-1} (B_{\phi_{p_1} (p_1), \epsilon}) \subseteq U_{p_1}\)は\(U_{p_1}\)上でそして\(M\)上でオープン（開）である。
任意の\(p_2 \in \phi_{p_1}^{-1} (B_{\phi_{p_1} (p_1), \epsilon})\)は\(\phi_{p_1}^{-1} (B_{\phi_{p_1} (p_1), \epsilon})\)上でそして\(M\)上で\(p_1\)へパスコネクテッド（連結された）である、なぜなら、\(\phi_{p_1} (p_2)\)は\(B_{\phi_{p_1} (p_1), \epsilon}\)上で\(\phi_{p_1} (p_1)\)へパスコネクテッド（連結された）であり、当該パスは\(\phi_{p_1}^{-1}\)によって\(\phi_{p_1}^{-1} (B_{\phi_{p_1} (p_1), \epsilon})\)の中へマップされる: 当該パス\(\lambda: J \subseteq \mathbb{R} \to B_{\phi_{p_1} (p_1), \epsilon}\)に対して、\(\phi_{p_1}^{-1} \circ \lambda: J \to \phi_{p_1}^{-1} (B_{\phi_{p_1} (p_1), \epsilon})\)を取る、それはコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
\(p_2\)は\(M\)上で\(p\)へパスコネクテッド（連結された）である、なぜなら、\(p_2\)は\(p\)へ\(p_1\)を介してパスコネクテッド（連結された）にできる。したがって、\(\phi_{p_1}^{-1} (B_{\phi_{p_1} (p_1), \epsilon}) \subseteq S\)。
オープン（開）であることのローカル基準によって、\(S\)は\(M\)上でオープン（開）である。
ステップ3:
\(M \setminus S \subseteq M\)はオープン（開）であることを証明しよう。
\(p_3 \in M \setminus S\)は任意のものであるとしよう。\(p_3\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{p_3} \subseteq M\)およびあるホメオモーフィズム（位相同形写像）\(\phi_{p_3}: U_{p_3} \to U_{\phi (p_3)}\)、ここで、\(U_{\phi_{p_3} (p_3)} \subseteq \mathbb {R}^n\)は\(\mathbb {R}^n\)上でオープン（開）である、がある。以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{\phi_{p_3} (p_3), \epsilon} \subseteq \mathbb {R}^n\)、つまり、\(B_{\phi_{p_3} (p_3), \epsilon} \subseteq U_{\phi_{p_3} (p_3)}\)、がある。\(B_{\phi_{p_3} (p_3), \epsilon}\)は\(U_{\phi_{p_3} (p_3)}\)上でオープン（開）であり、\(\phi_{p_3}^{-1} (B_{\phi_{p_3} (p_3), \epsilon}) \subseteq U_{p_3}\)は\(U_{p_3}\)上でそして\(M\)上でオープン（開）である。
任意の\(p_4 \in \phi_{p_3}^{-1} (B_{\phi_{p_3} (p_3), \epsilon})\)は\(\phi_{p_3}^{-1} (B_{\phi_{p_3} (p_3), \epsilon})\)上でそして\(M\)上で\(p_3\)へパスコネクテッド（連結された）である、なぜなら、\(\phi_{p_3} (p_4)\)は\(B_{\phi_{p_3} (p_3), \epsilon}\)上で \(\phi_{p_3} (p_3)\)へパスコネクテッド（連結された）であり、当該パスは\(\phi_{p_3}^{-1}\)によって\(\phi_{p_3}^{-1} (B_{\phi_{p_3} (p_3), \epsilon})\)の中へマップすることができる、前と同様に。
\(p_4\)は\(M\)上で\(p\)へパスコネクテッド（連結された）でない、なぜなら、そうでなければ、\(p_3\)は\(p\)へ\(p_4\)を介してパスコネクテッド（連結された）であることになる、矛盾。したがって、\(\phi_{p_3}^{-1} (B_{\phi_{p_3} (p_3), \epsilon}) \subseteq M \setminus S\)。
オープン（開）であることのローカル基準によって、\(M \setminus S\)は\(M\)上でオープン（開）である。
ステップ4:
さて、\(S \cap (M \setminus S) = \emptyset\)および\(M = S \cup (M \setminus S)\)。\(M\)はコネクテッド（連結された）であるから、これら2つのサブセット（部分集合）たちの内の1つは空でなければならない、しかし、\(S\)は空ではない、少なくとも\(p\)を包含していて、したがって、\(M \setminus S = \emptyset\)、したがって、\(S = M\)、それが意味するのは、\(M\)はパスコネクテッド（連結された）であるということ。
4: 注
本命題は、トポロジカルスペース（空間）一般についてのものではなく、トポロジカルマニフォールド（多様体）についてのものである。
