47: コネクテッド（連結された）トポロジカルマニフォールド（多様体）はパスコネクテッド（連結された）である

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コネクテッド（連結された）トポロジカルマニフォールド（多様体）はパスコネクテッド（連結された）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルマニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明
• 4: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルマニフォールドの定義を知っている。
• 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、パスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
• 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルマニフォールド（多様体）はパスコネクテッド（連結された）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M$: $\in \{\text{ 全てのコネクテッド（連結された）トポロジカルマニフォールド（多様体）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$M$: $\in \{\text{ 全てのパスコネクテッド（連結された）トポロジカルマニフォールド（多様体）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルマニフォールド（多様体）$M$はパスコネクテッド（連結された）である。

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3: 証明

全体戦略: 任意のポイント$p\in M$およびサブセット（部分集合）$S\subseteq M$を$p$とパスコネクテッド（連結された）である全てのポイントたちとして取り、$S=M$であることを見る; ステップ1: 任意のポイント$p\in M$およびサブセット（部分集合）$S\subseteq M$を$p$とパスコネクテッド（連結された）である全てのポイントたちとして取る; ステップ2: $S$はオープン（開）であることを見る; ステップ3: $M\setminus S$はオープン（開）であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。

ステップ1:

任意のポイント$p\in M$に対して、サブセット（部分集合）$S\subseteq M$を$p$とパスコネクテッド（連結された）である全てのポイントたちとして取る。

ステップ2:

$S$はオープン（開）であることを証明しよう。

$p_1\in S$は任意のものであるとしよう。$p_1$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{p_1}\subseteq M$およびあるホメオモーフィズム（位相同形写像）${\varphi }_{p_1}:U_{p_1}\to U_{{\varphi }_{p_1}(p_1)}$、ここで、$U_{{\varphi }_{p_1}(p_1)}\subseteq {\mathbb{R}}^n$は${\mathbb{R}}^n$上でオープン（開）、がある。

以下を満たすあるオープンボール（開球）$B_{{\varphi }_{p_1}(p_1),ϵ}\subseteq {\mathbb{R}}^n$、つまり、$B_{{\varphi }_{p_1}(p_1),ϵ}\subseteq U_{{\varphi }_{p_1}(p_1)}$、がある。$B_{{\varphi }_{p_1}(p_1),ϵ}$は$U_{{\varphi }_{p_1}(p_1)}$上でオープン（開）であり、${\varphi }_{p_1}^{-1}(B_{{\varphi }_{p_1}(p_1),ϵ})\subseteq U_{p_1}$は$U_{p_1}$上でそして$M$上でオープン（開）である。

任意の$p_2\in {\varphi }_{p_1}^{-1}(B_{{\varphi }_{p_1}(p_1),ϵ})$は${\varphi }_{p_1}^{-1}(B_{{\varphi }_{p_1}(p_1),ϵ})$上でそして$M$上で$p_1$へパスコネクテッド（連結された）である、なぜなら、${\varphi }_{p_1}(p_2)$は$B_{{\varphi }_{p_1}(p_1),ϵ}$上で${\varphi }_{p_1}(p_1)$へパスコネクテッド（連結された）であり、当該パスは${\varphi }_{p_1}^{-1}$によって${\varphi }_{p_1}^{-1}(B_{{\varphi }_{p_1}(p_1),ϵ})$の中へマップされる: 当該パス$\lambda :J\subseteq \mathbb{R}\to B_{{\varphi }_{p_1}(p_1),ϵ}$に対して、${\varphi }_{p_1}^{-1}\circ \lambda :J\to {\varphi }_{p_1}^{-1}(B_{{\varphi }_{p_1}(p_1),ϵ})$を取る、それはコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題によって。

$p_2$は$M$上で$p$へパスコネクテッド（連結された）である、なぜなら、$p_2$は$p$へ$p_1$を介してパスコネクテッド（連結された）にできる。したがって、${\varphi }_{p_1}^{-1}(B_{{\varphi }_{p_1}(p_1),ϵ})\subseteq S$。

オープン（開）であることのローカル基準によって、$S$は$M$上でオープン（開）である。

ステップ3:

$M\setminus S\subseteq M$はオープン（開）であることを証明しよう。

$p_3\in M\setminus S$は任意のものであるとしよう。$p_3$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{p_3}\subseteq M$およびあるホメオモーフィズム（位相同形写像）${\varphi }_{p_3}:U_{p_3}\to U_{\varphi (p_3)}$、ここで、$U_{{\varphi }_{p_3}(p_3)}\subseteq {\mathbb{R}}^n$は${\mathbb{R}}^n$上でオープン（開）である、がある。以下を満たすあるオープンボール（開球）$B_{{\varphi }_{p_3}(p_3),ϵ}\subseteq {\mathbb{R}}^n$、つまり、$B_{{\varphi }_{p_3}(p_3),ϵ}\subseteq U_{{\varphi }_{p_3}(p_3)}$、がある。$B_{{\varphi }_{p_3}(p_3),ϵ}$は$U_{{\varphi }_{p_3}(p_3)}$上でオープン（開）であり、${\varphi }_{p_3}^{-1}(B_{{\varphi }_{p_3}(p_3),ϵ})\subseteq U_{p_3}$は$U_{p_3}$上でそして$M$上でオープン（開）である。

任意の$p_4\in {\varphi }_{p_3}^{-1}(B_{{\varphi }_{p_3}(p_3),ϵ})$は${\varphi }_{p_3}^{-1}(B_{{\varphi }_{p_3}(p_3),ϵ})$上でそして$M$上で$p_3$へパスコネクテッド（連結された）である、なぜなら、${\varphi }_{p_3}(p_4)$は$B_{{\varphi }_{p_3}(p_3),ϵ}$上で ${\varphi }_{p_3}(p_3)$へパスコネクテッド（連結された）であり、当該パスは${\varphi }_{p_3}^{-1}$によって${\varphi }_{p_3}^{-1}(B_{{\varphi }_{p_3}(p_3),ϵ})$の中へマップすることができる、前と同様に。

$p_4$は$M$上で$p$へパスコネクテッド（連結された）でない、なぜなら、そうでなければ、$p_3$は$p$へ$p_4$を介してパスコネクテッド（連結された）であることになる、矛盾。したがって、${\varphi }_{p_3}^{-1}(B_{{\varphi }_{p_3}(p_3),ϵ})\subseteq M\setminus S$。

オープン（開）であることのローカル基準によって、$M\setminus S$は$M$上でオープン（開）である。

ステップ4:

さて、$S\cap (M\setminus S)=\mathrm{\varnothing }$および$M=S\cup (M\setminus S)$。$M$はコネクテッド（連結された）であるから、これら2つのサブセット（部分集合）たちの内の1つは空でなければならない、しかし、$S$は空ではない、少なくとも$p$を包含していて、したがって、$M\setminus S=\mathrm{\varnothing }$、したがって、$S=M$、それが意味するのは、$M$はパスコネクテッド（連結された）であるということ。

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4: 注

本命題は、トポロジカルスペース（空間）一般についてのものではなく、トポロジカルマニフォールド（多様体）についてのものである。

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参考資料

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