ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）のアイデンティティ（単位要素）におけるタンジェントベクトルたちスペース（空間）は、ジェネラルリニア（線形）リーアルジェブラ（多元環）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、ジェネラルリニア（線形）リーアルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）内のベクトルたちのリアル（実）-1-パラメータファミリーのデリバティブ（微分係数）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）のアイデンティティ（単位要素）におけるタンジェントベクトルたちスペース（空間）は、ジェネラルリニア（線形）リーアルジェブラ（多元環）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題の記述および証明を得、当該アイソモーフィズム（同形写像）はどのようなものであるかを理解する。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルスペース（空間）たち }\}\)
\(GL (V)\): \(= V \text{ のジェネラルリニア（線形）グループ（群） }\)で、カノニカル（正典）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(\mathfrak{gl} (V)\): \(= V \text{ のジェネラルリニア（線形）リーアルジェブラ（多元環） }\)
\(f\): \(T_IGL (V) \to \mathfrak{gl} (V)\)で、以下を満たすもの、つまり、\(f (d c (t) / d t \vert_{t = 0}) (v) = d (c (t) (v)) / d t \vert_{t = 0}\)、ここで、\(c: (-\epsilon, \epsilon) \to GL (V)\)は、\(C^\infty\)カーブで\(T_IGL (V)\)内のあるタンジェント（接）ベクトルを実現する任意のもの、\(v\)は、\(V\)内の任意のベクトル、\(d (c (t) (v)) / d t \vert_{t = 0}\)は、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）内のベクトルたちのリアル（実）-1-パラメータファミリーのデリバティブ（微分係数）
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ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
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2: Natural Language Description
For any finite-dimensional real vectors space, \(V\), the general linear group, \(GL (V)\), with the canonical \(C^\infty\) manifold structure, and the general linear Lie algebra, \(\mathfrak{gl} (V)\), there is the 'vectors spaces - linear morphisms' isomorphism, \(f: T_IGL (V) \to \mathfrak{gl} (V)\), such that \(f (d c (t) / d t \vert_{t = 0}) (v) = d (c (t) (v)) / d t \vert_{t = 0}\), where \(c: (-\epsilon, \epsilon) \to GL (V)\) is any \(C^\infty\) curve that realizes a tangent vector in \(T_IGL (V)\), \(v \in V\) is any vector, and \(d (c (t) (v)) / d t \vert_{t = 0}\) is the derivative of real-1-parameter family of vectors in finite-dimensional real vectors space.
3: Proof
\(GL (V)\) as the canonical \(C^\infty\) manifold has the chart that maps onto the set of the non-singular matrices with respect to any fixed basis of \(V\). Let us use the chart hereafter.
\(\mathfrak{gl} (V)\) can be represented as the matrices with respect to the same fixed basis of \(V\). Let us use the representation hereafter.
For any \(l \in \mathfrak{gl} (V)\), let \(L\) be the representation matrix. Let \(c: (-\epsilon, \epsilon) \to GL (V)\) with \(\epsilon\) small enough be the \(C^{\infty}\) curve on \(GL (V)\) whose chart components are \(C (t) := I + t L\), which is indeed on \(GL (V)\), because \(C (t)\) is a parameterized matrix, \(\begin{pmatrix} C^j_k (t) \end{pmatrix}\), but \(det \begin{pmatrix} C^j_k (t) \end{pmatrix}\) is not \(0\) there (it is \(1\) at \(t = 0\) and is continuous with respect to \(t\)), so, \(C (t)\) is invertible. But \(S := \{C (t) := I + t L \vert \forall l \in \mathfrak{gl} (V)\}\) uniquely identifies the tangent vectors in \(T_IGL (V)\), because each tangent vector is realized by an \(l\) and for each \(l_1 \neq l_2\), the realized tangent vectors are different.
Let \(f\) map each tangent vector to \(l\) via \(S\).
\(f\) is surjective, because for any \(l \in \mathfrak{gl} (V)\), there is the tangent vector realized by \(C (t): = I + t L\), and is injective, because for any distinct 2 tangent vectors, the representing \(l\) s are different.
\(f\) is linear, because for any tangent vectors, \(v_1, v_2\), such that \(f (v_j) = l_j\), \(r_1 v_1 + r_2 v_2\) is realized by \(C (t): = I + t (r_1 L_1 + r_2 L_2)\), and \(f (r_1 v_1 + r_2 v_2) = r_1 l_1 + r_2 l_2 = r_1 f (v_1) + r_2 f (v_2)\).
So, \(f\) is a 'vectors spaces - linear morphisms' isomorphism, by the proposition that any bijective linear map between any vectors spaces is a 'vectors spaces - linear morphisms' isomorphism.
Now, \(f (d c (t) / d t \vert_{t = 0}) (v) = l v\), which is represented by \(L v'\) where \(v'\) is the representation of \(v\) by the basis of \(V\), \(= \begin{pmatrix} d C^j_k (t) / d t \vert_{t = 0} \end{pmatrix} v' = d / d t \vert_{t = 0} (\begin{pmatrix} C^j_k (t) \end{pmatrix} v')\), which is the representation of \(d (c (t) (v)) / d t \vert_{t = 0}\), which is the derivative of the real-1-parameter family of vectors in finite-dimensional real vectors space, which means that \(f (d c (t) / d t \vert_{t = 0}) (v) = d (c (t) (v)) / d t \vert_{t = 0}\).
