ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）のアイデンティティ（単位要素）におけるタンジェントベクトルたちスペース（空間）はジェネラルリニア（線形）リーアルジェブラ（多元環）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同型写像）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）
About: ジェネラルリニア（線形）リーアルジェブラ（多元環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、ジェネラルリニア（線形）リーアルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、ポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）内のベクトルたちのリアル（実）-1-パラメータファミリーのデリバティブ（微分係数）の定義を知っている。
- 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）リニア（線形）モーフィズム（射）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同型写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）のアイデンティティ（単位要素）におけるタンジェントベクトルたちスペース（空間）は当該ジェネラルリニア（線形）リーアルジェブラ（多元環）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同型写像）であるという命題の記述および証明を得て、当該'アイソモーフィズム（同型写像）がどのようなものであるかを理解する。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(GL (V)\): \(= V\text{ のジェネラルリニア（線形）グループ（群） }\)でカノニカル（自然な）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(\mathfrak{gl} (V)\): \(= V\text{ のジェネラルリニア（線形）リーアルジェブラ（多元環） } \)
\(f\): \(T_IGL (V) \to \mathfrak{gl} (V)\)で、\(f (d c (t) / d t \vert_{t = 0}) (v) = d (c (t) (v)) / d t \vert_{t = 0}\)、ここで、\(c: (-\epsilon, \epsilon) \to GL (V)\)は\(T_IGL (V)\)内のあるタンジェントベクトルを実現する任意の\(C^\infty\)カーブ、\(v\)は\(V\)内の任意のベクトル、\(d (c (t) (v)) / d t \vert_{t = 0}\)はファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）内のベクトルたちのリアル（実）-1-パラメータファミリーのデリバティブ（微分係数）
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーズム（同型写像）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意の全てのファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）\(V\)、ジェネラルリニア（線形）グループ（群）\(GL (V)\)でカノニカル（自然な）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）ストラクチャー（構造）、ジェネラルリニア（線形）リーアルジェブラ（多元環）\(\mathfrak{gl} (V)\)に対して、以下を満たす'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーズム（同型写像）\(f: T_IGL (V) \to \mathfrak{gl} (V)\)、つまり、\(f (d c (t) / d t \vert_{t = 0}) (v) = d (c (t) (v)) / d t \vert_{t = 0}\)、ここで、\(c: (-\epsilon, \epsilon) \to GL (V)\)は\(T_IGL (V)\)内のあるタンジェントベクトルを実現する任意の\(C^\infty\)カーブ、\(v \in V\)は任意のベクトル、\(d (c (t) (v)) / d t \vert_{t = 0}\)はファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）内のベクトルたちのリアル（実）-1-パラメータファミリーのデリバティブ（微分係数）、がある。
3: 証明
\(GL (V)\)をカノニカル（自然な）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）とみなしたものは、\(V\)の任意の固定したベーシス（基底）に関して、全てのノンシンギュラー（非特異）マトリックス（行列）たちのセット（集合）の上へマップするチャートを持つ。このチャートをこれ以降使おう。
\(\mathfrak{gl} (V)\)は、\(V\)の同一の固定したベーシス（基底）に関する全てのマトリックス（行列）たちに代表させられる。このレプリゼンテーション（ 代表）をこれ以降使おう。
任意の\(l \in \mathfrak{gl} (V)\)に対して、\(L\)をレプリゼンテーション（代表）マトリックス（行列）としよう。\(c: (-\epsilon, \epsilon) \to GL (V)\)で\(\epsilon\)を十分小さくしたものを\(GL (V)\)上の\(C^{\infty}\)カーブでそのチャートコンパクトたちが\(C (t) := I + t L\)であるものとしよう、それは実際に\(GL (V)\)上にある、なぜなら、\(C (t)\)はパラメータ付きマトリックス（行列）\(\begin{pmatrix} C^j_k (t) \end{pmatrix}\)であるが、\(det \begin{pmatrix} C^j_k (t) \end{pmatrix}\)はそこで\(0\)でない（それは\(t = 0\)において\(1\)であり\(t\)に関してコンティニュアス（連続）である）したがって、\(C (t)\)はインバーティブル（可逆）である。しかし、\(S := \{C (t) := I + t L \vert \forall l \in \mathfrak{gl} (V)\}\)は\(T_IGL (V)\)内の全タンジェントベクトルたちをユニークに同定する、なぜなら、各タンジェントベクトルはある\(l\)によって実現され、各\(l_1 \neq l_2\)に対して、実現されたタンジェントベクトルたちは異なる。
\(f\)に、各タンジェントベクトルを\(S\)を介して\(l\)へマップさせよう。
\(f\)はサージェクティブ（全射）である、なぜなら、任意の\(l \in \mathfrak{gl} (V)\)に対して、\(C (t): = I + t L\)によって実現されたタンジェントベクトルがある、そして、インジェクティブ（単射）である、なぜなら、任意の異なる2タンジェントベクトルたちに対して、代表している\(l\)たちは異なる。
\(f\)はリニア（線形）である、なぜなら、以下を満たす任意のタンジェントベクトルたち\(v_1, v_2\)、つまり、\(f (v_j) = l_j\)、に対して、\(r_1 v_1 + r_2 v_2\)は\(C (t): = I + t (r_1 L_1 + r_2 L_2)\)によって実現され、\(f (r_1 v_1 + r_2 v_2) = r_1 l_1 + r_2 l_2 = r_1 f (v_1) + r_2 f (v_2)\)。
したがって、\(f\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーズム（同型写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）リニア（線形）モーフィズム（射）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同型写像）であるという命題によって。
さて、\(f (d c (t) / d t \vert_{t = 0}) (v) = l v\)、それは\(L v'\)、ここで、\(v'\)は\(V\)の当該ベーシス（基底）による\(v\)のレプリゼンテーション（代表）、によって代表される、\(= \begin{pmatrix} d C^j_k (t) / d t \vert_{t = 0} \end{pmatrix} v' = d / d t \vert_{t = 0} (\begin{pmatrix} C^j_k (t) \end{pmatrix} v')\)、それは、\(d (c (t) (v)) / d t \vert_{t = 0}\)（それは、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）内のベクトルたちのリアル（実）-1-パラメータファミリーのデリバティブ（微分係数））のレプリゼンテーション（代表）である、それが意味するのは、\(f (d c (t) / d t \vert_{t = 0}) (v) = d (c (t) (v)) / d t \vert_{t = 0}\)。
