37: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）のアイデンティティ（単位要素）におけるタンジェントベクトルたちスペース（空間）はジェネラルリニア（線形）リーアルジェブラ（多元環）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同型写像）である

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ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）のアイデンティティ（単位要素）におけるタンジェントベクトルたちスペース（空間）はジェネラルリニア（線形）リーアルジェブラ（多元環）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同型写像）であることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）
About: ジェネラルリニア（線形）リーアルジェブラ（多元環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）の定義を知っている。
• 読者は、ジェネラルリニア（線形）リーアルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
• 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、ポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）内のベクトルたちのリアル（実）-1-パラメータファミリーのデリバティブ（微分係数）の定義を知っている。
• 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）リニア（線形）モーフィズム（射）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同型写像）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）のアイデンティティ（単位要素）におけるタンジェントベクトルたちスペース（空間）は当該ジェネラルリニア（線形）リーアルジェブラ（多元環）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同型写像）であるという命題の記述および証明を得て、当該'アイソモーフィズム（同型写像）がどのようなものであるかを理解する。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$GL(V)$: $=V\text{ のジェネラルリニア（線形）グループ（群） }$でカノニカル（自然な）$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）ストラクチャー（構造）を持つもの
$\mathfrak{gl}(V)$: $=V\text{ のジェネラルリニア（線形）リーアルジェブラ（多元環） }$
$f$: $T_{I}GL(V)\to \mathfrak{gl}(V)$で、$f(dc(t)/dt{|}_{t=0})(v)=d(c(t)(v))/dt{|}_{t=0}$、ここで、$c:(-ϵ,ϵ)\to GL(V)$は$T_{I}GL(V)$内のあるタンジェントベクトルを実現する任意の$C^{\mathrm{\infty }}$カーブ、$v$は$V$内の任意のベクトル、$d(c(t)(v))/dt{|}_{t=0}$はファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）内のベクトルたちのリアル（実）-1-パラメータファミリーのデリバティブ（微分係数）
//

ステートメント（言明）たち:
$f\in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーズム（同型写像）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意の全てのファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）$V$、ジェネラルリニア（線形）グループ（群）$GL(V)$でカノニカル（自然な）$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）ストラクチャー（構造）、ジェネラルリニア（線形）リーアルジェブラ（多元環）$\mathfrak{gl}(V)$に対して、以下を満たす'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーズム（同型写像）$f:T_{I}GL(V)\to \mathfrak{gl}(V)$、つまり、$f(dc(t)/dt{|}_{t=0})(v)=d(c(t)(v))/dt{|}_{t=0}$、ここで、$c:(-ϵ,ϵ)\to GL(V)$は$T_{I}GL(V)$内のあるタンジェントベクトルを実現する任意の$C^{\mathrm{\infty }}$カーブ、$v\in V$は任意のベクトル、$d(c(t)(v))/dt{|}_{t=0}$はファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）内のベクトルたちのリアル（実）-1-パラメータファミリーのデリバティブ（微分係数）、がある。

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3: 証明

$GL(V)$をカノニカル（自然な）$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）とみなしたものは、$V$の任意の固定したベーシス（基底）に関して、全てのノンシンギュラー（非特異）マトリックス（行列）たちのセット（集合）の上へマップするチャートを持つ。このチャートをこれ以降使おう。

$\mathfrak{gl}(V)$は、$V$の同一の固定したベーシス（基底）に関する全てのマトリックス（行列）たちに代表させられる。このレプリゼンテーション（ 代表）をこれ以降使おう。

任意の$l\in \mathfrak{gl}(V)$に対して、$L$をレプリゼンテーション（代表）マトリックス（行列）としよう。$c:(-ϵ,ϵ)\to GL(V)$で$ϵ$を十分小さくしたものを$GL(V)$上の$C^{\mathrm{\infty }}$カーブでそのチャートコンパクトたちが$C(t):=I+tL$であるものとしよう、それは実際に$GL(V)$上にある、なぜなら、$C(t)$はパラメータ付きマトリックス（行列）$\left(\begin{array}{c}{C}_k^j(t)\end{array}\right)$であるが、$det\left(\begin{array}{c}{C}_k^j(t)\end{array}\right)$はそこで$0$でない（それは$t=0$において$1$であり$t$に関してコンティニュアス（連続）である）したがって、$C(t)$はインバーティブル（可逆）である。しかし、$S:=\{C(t):=I+tL|\mathrm{\forall }l\in \mathfrak{gl}(V)\}$は$T_{I}GL(V)$内の全タンジェントベクトルたちをユニークに同定する、なぜなら、各タンジェントベクトルはある$l$によって実現され、各$l_1\ne l_2$に対して、実現されたタンジェントベクトルたちは異なる。

$f$に、各タンジェントベクトルを$S$を介して$l$へマップさせよう。

$f$はサージェクティブ（全射）である、なぜなら、任意の$l\in \mathfrak{gl}(V)$に対して、$C(t):=I+tL$によって実現されたタンジェントベクトルがある、そして、インジェクティブ（単射）である、なぜなら、任意の異なる2タンジェントベクトルたちに対して、代表している$l$たちは異なる。

$f$はリニア（線形）である、なぜなら、以下を満たす任意のタンジェントベクトルたち$v_1,v_2$、つまり、$f(v_j)=l_j$、に対して、$r_1{v}_1+r_2{v}_2$は$C(t):=I+t(r_1{L}_1+r_2{L}_2)$によって実現され、$f(r_1{v}_1+r_2{v}_2)=r_1{l}_1+r_2{l}_2=r_{1}f(v_1)+r_{2}f(v_2)$。

したがって、$f$は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーズム（同型写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）リニア（線形）モーフィズム（射）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同型写像）であるという命題によって。

さて、$f(dc(t)/dt{|}_{t=0})(v)=lv$、それは$L{v}^{\prime }$、ここで、$v^{\prime }$は$V$の当該ベーシス（基底）による$v$のレプリゼンテーション（代表）、によって代表される、$=\left(\begin{array}{c}d{C}_k^j(t)/dt{|}_{t=0}\end{array}\right)v^{\prime }=d/dt{|}_{t=0}(\left(\begin{array}{c}{C}_k^j(t)\end{array}\right)v^{\prime })$、それは、$d(c(t)(v))/dt{|}_{t=0}$（それは、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）内のベクトルたちのリアル（実）-1-パラメータファミリーのデリバティブ（微分係数））のレプリゼンテーション（代表）である、それが意味するのは、$f(dc(t)/dt{|}_{t=0})(v)=d(c(t)(v))/dt{|}_{t=0}$。

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参考資料

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