クローズドセット（閉集合）のコンティヌアス（連続）マップ（写像）プリイメージ（前像）はクローズドセット（閉集合）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
About: マップ（写像）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、オープンセット（開集合）の定義を知っている。
- 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のマップ（写像）の、レンジ（値域） マイナス 任意のレンジ（値域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域） マイナス そのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、任意のクローズドセット（閉集合）のプリイメージ（前像）は、クローズドセット（閉集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(M_1\)および\(M_2\)、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）\(f: M_1 \rightarrow M_2\)、そのレンジ（値域）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）\(C \subseteq M_2\)に対して、そのクローズドセット（閉集合）のプリイメージ（前像）\(f^{-1} (C)\)はクローズドセット（閉集合）である。
2: Proof 証明
任意のマップ（写像）の、レンジ（値域） マイナス 任意のレンジ（値域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域） マイナス そのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるというという命題によって、\(f^{-1} (C) = f^{-1} (M_2 \setminus U) = M_1 \setminus f^{-1} (U)\)、ここで、\(U = M_2 \setminus C\)、オープンセット（開集合）。fはコンティヌアス（連続）であるから、\(f^{-1} (U)\)はオープン、したがって、\(M_1 \setminus f^{-1} (U)\)はクローズド、つまり、\(f^{-1} (C)\)はクローズド。
