306: ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である

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ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
• 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）$T$に対して、任意の1ポイントセット（集合）$\{p\}$はクローズド（閉）である。

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2: 証明

$T\setminus \{p\}$はオープンであるか？任意のポイント$p^{\prime }\in T\setminus \{p\}$に対して、$p$および$p^{\prime }$の以下を満たす何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たち$U_p\subseteq T$および$U_{p^{\prime }}\subseteq T$、つまり、$U_p\cap U_{p^{\prime }}=\mathrm{\varnothing }$、がある。$U_{p^{\prime }}\subseteq T\setminus \{p\}$、なぜなら、任意の$p^{″}\in U_{p^{\prime }}$に対して、$p^{″}\notin U_p$、$p^{″}\notin \{p\}$、したがって、$p^{″}\in T\setminus \{p\}$。したがって、オープン（開）であることのローカル基準によって、$T\setminus \{p\}$はオープン（開）である。

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参考資料

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