ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
- 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）\(T\)に対して、任意の1ポイントセット（集合）\(\{p\}\)はクローズド（閉）である。
2: 証明
\(T \setminus \{p\}\)はオープンであるか？任意のポイント\(p' \in T \setminus \{p\}\)に対して、\(p\)および\(p'\)の以下を満たす何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たち\(U_p \subseteq T\)および\(U_{p'} \subseteq T\)、つまり、\(U_p \cap U_{p'} = \emptyset\)、がある。\(U_{p'} \subseteq T \setminus \{p\}\)、なぜなら、任意の\(p'' \in U_{p'}\)に対して、\(p'' \notin U_p\)、\(p'' \notin \{p\}\)、したがって、\(p'' \in T \setminus \{p\}\)。したがって、オープン（開）であることのローカル基準によって、\(T \setminus \{p\}\)はオープン（開）である。
