トポロジカルサブスペース（部分空間）はローカルにクローズド（閉）である、もしも、それがベーススペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）とオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ローカルにクローズド（閉）トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーを知っている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）と任意のオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）と当該オープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）のクロージャー（閉包）に包含されているという命題によって。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）はローカルにクローズド（閉）である、もしも、それがベーススペース（空間）のあるクローズドサブセット（閉部分集合）とあるオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T'\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T\): \(\subseteq T'\)で、\(T'\)のサブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{T' \text{ の全てのローカルにクローズド（閉）トポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(\iff\)
\(\exists C' \in \{T' \text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\}, \exists U' \in \{T' \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} (T = C' \cap U')\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(T\)はローカルにクローズド（閉）であると仮定する; ステップ2: \(C' = \overline{T}\)および\(U' := \cup_{t \in T} U'_t\)を取り、\(T = C' \cap U'\)であることを見る; ステップ3: \(T = C' \cap U'\)であると仮定する; ステップ4: \(U'_t = U'\)を取り、\(U'_t \cap T = U'_t \cap \overline{T}\)であることを見る。
ステップ1:
\(T\)はローカルにクローズド（閉）であると仮定しよう。
ステップ2:
\(C' := \overline{T}\)、\(T'\)上でクローズド（閉）、と取ろう。
\(U' := \cup_{t \in T} U'_t\)、ここで、\(U'_t \subseteq T'\)は、\(t\)の以下を満たす任意のオープンネイバーフッド（開近傍）、つまり、\(U'_t \cap T \subseteq U'_t\)はクローズド（閉）である、と取ろう、\(T'\)上でオープン（開）。
\(C' \cap U' = \overline{T} \cap \cup_{t \in T} U'_t = \cup_{t \in T} (\overline{T} \cap U'_t)\)、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。
\(= \cup_{t \in T} (T \cap U'_t)\)、なぜなら、一方で、\((T \cap U'_t) \subseteq (\overline{T} \cap U'_t) \subseteq \overline{T \cap U'_t}\)、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）と任意のオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）と当該オープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）のクロージャー（閉包）に包含されているという命題によって、であるところ、他方で、\(T \cap U'_t = \overline{T \cap U'_t} \cap U'_t\)、なぜなら、\(T \cap U'_t\)は\(U'_t\)上でクローズド（閉）であるから、以下を満たすあるクローズドサブセット（閉部分集合）\(C'_t \subseteq T'\)、つまり、\(T \cap U'_t = C'_t \cap U'_t\)、がある、しかし、\(T \cap U'_t \subseteq C'_t\)であり\(C'_t\)はクローズド（閉）であるから、\(\overline{T \cap U'_t} \subseteq C'_t\)、そして、実のところ、\(C'_t\)は、\(\overline{T \cap U'_t}\)であるように取れる、したがって、\(T \cap U'_t = C'_t \cap U'_t = \overline{T \cap U'_t} \cap U'_t\)、すると、\(T \cap U'_t \cap U'_t = T \cap U'_t \subseteq (\overline{T} \cap U'_t) \cap U'_t \subseteq \overline{T \cap U'_t} \cap U'_t\)、ここで、第1項と最終項は等しい、したがって、\((\overline{T} \cap U'_t) \cap U'_t = \overline{T} \cap U'_t\)は第1項\(T \cap U'_t\)に等しい。
\(= T\)、なぜなら、\(\cup_{t \in T} (T \cap U'_t) \subseteq T\)、なぜなら、各\(p \in \cup_{t \in T} (T \cap U'_t)\)に対して、\(p \in T \cap U'_t\)、ある\(t \in T\)に対して、そして、\(p \in T \cap U'_t \subseteq T\); \(T \subseteq \cup_{t \in T} (T \cap U'_t)\)、なぜなら、各\(t \in T\)に対して、\(t \in T \cap U'_t\)、そして、\(t \in \cup_{t \in T} (T \cap U'_t)\)。
したがって、\(C' \cap U' = T\)。
ステップ3:
\(T = C' \cap U'\)であると仮定しよう。
ステップ4:
各\(t \in T\)に対して、\(U'_t = U'\)を取ろう、それは、\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、なぜなら、\(t \in T = C' \cap U' \subseteq U'\)。
\(T = \overline{T} \cap U'\)、なぜなら、各\(p \in T\)に対して、\(p \in \overline{T}\)および\(p \in T = C' \cap U' \subseteq U'\)、したがって、\(p \in \overline{T} \cap U'\)、したがって、\(T \subseteq \overline{T} \cap U'\); 各\(p \in \overline{T} \cap U'\)に対して、\(T = C' \cap U' \subseteq C'\)であるから、\(\overline{T} \subseteq C'\)、したがって、\(p \in C' \cap U' = T\)、したがって、\(\overline{T} \cap U' \subseteq T\)。
したがって、\(U' \cap T = U' \cap \overline{T} \cap U' = U' \cap \overline{T}\)、\(U'\)上でクローズド（閉）である、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
したがって、\(T\)はローカルにクローズド（閉）である。
