トポロジカルサブスペース（部分空間）はローカルにクローズド（閉）である、もしも、それがベーススペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）とオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）である場合、そして、その場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ローカルにクローズド（閉）なトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）と任意のオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）と当該オープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）のクロージャー（閉包）に包含されているという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）はローカルにクローズド（閉）である、もしも、それがベーススペース（空間）のあるクローズドサブセット（部分集合）とあるオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)に対して、任意のサブスペース（部分空間）\(T_1 \subseteq T\)はローカルにクローズド（閉）である、もしも、\(T_1 = C \cap U\)、ここで、\(C\)および\(U\)は\(T\)のそれぞれクローズドセット（閉集合）およびオープンセット（開集合）、である場合、そしてその場合に限って。
2: 証明
\(T_1 = C \cap U\)であると仮定しよう。\(T_1 = \overline{T_1} \cap U\)、なぜなら、明らかに、\(\overline{T_1} \cap U \subseteq C \cap U\)、そして、任意のポイント\(p \in C \cap U\)に対して、\(p \in T_1\)および\(p \in U\)、したがって、\(p \in \overline{T_1} \cap U\)、したがって、\(C \cap P \subseteq \overline{T_1} \cap U\)。もしも、\(U \cap T_1\)が\(U\)上でクローズド（閉）であれば、\(U\)を、\(T_1\)がローカルにクローズド（閉）であるために求められる、各ポイント\(p \in T_1\)のオープンネイバーフッド（開近傍）として取れる。しかし、\(U \cap T_1\)は実のところ\(U\)上でクローズド（閉）である、なぜなら、\(U \cap T_1 = U \cap \overline{T_1} \cap U = \overline{T_1} \cap U\)。
\(T_1\)はローカルにクローズド（閉）であると仮定しよう。\(U := \cup_p U_p\)、ここで、\(U_p \subseteq T\)は、\(T_1\)がローカルにクローズド（閉）であるために求められる、\(p\)の\(T\)上のオープンネイバーフッド（開近傍）、と定義しよう、したがって、\(U_p \cap T_1\)は\(U_p\)上でクローズド（閉）である。\(U\)は\(T\)上でオープン（開）である。\(C = \overline{T_1}\)、\(T\)上でクローズド（閉）、を定義しよう。すると、\(C \cap U = \overline{T_1} \cap \cup_p U_p = \cup_p (\overline{T_1} \cap U_p) = \cup_p (T_1 \cap U_p) = T_1\)、ここで、最後から2番目のイコールの理由は、一方では、\((T_1 \cap U_p) \subseteq (\overline{T_1} \cap U_p) \subseteq \overline{T_1 \cap U_p}\)、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）と任意のオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）と当該オープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）のクロージャー（閉包）に包含されているという命題によって、そして他方では、\(T_1 \cap U_p = \overline{T_1 \cap U_p} \cap U_p\)、なぜなら、\(T_1 \cap U_p\)は\(U_p\)上でクローズド（閉）であるから、以下を満たすあるクローズドサブセット（閉部分集合）\(C_p \subseteq T\)、つまり、\(T_1 \cap U_p = C_p \cap U_p\)、がある、しかし、\(T_1 \cap U_p \subseteq C_p\)で、\(C_p\)はクローズド（閉）であるから、\(\overline{T_1 \cap U_p} \subseteq C_p\)、そして、実のところ、\(C_p\)は\(\overline{T_1 \cap U_p}\)であるように取ることができる、したがって、\(T_1 \cap U_p = C_p \cap U_p = \overline{T_1 \cap U_p} \cap U_p\)、すると、\(T_1 \cap U_p \cap U_p = T_1 \cap U_p \subseteq (\overline{T_1} \cap U_p) \cap U_p \subseteq \overline{T_1 \cap U_p} \cap U_p\)であるが、第1項と第3項は等しい、したがって、第2項は第1項と等しい、そして、最後のイコールは、\(U\)は\(T_1\)をカバーするから。
