305: トポロジカルサブスペース（部分空間）はローカルにクローズド（閉）である、もしも、それがベーススペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）とオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）である場合、そして、その場合に限って

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

トポロジカルサブスペース（部分空間）はローカルにクローズド（閉）である、もしも、それがベーススペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）とオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）である場合、そして、その場合に限って、ことの記述/証明

---

話題

About: トポロジカルスペース（空間）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、ローカルにクローズド（閉）なトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）と任意のオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）と当該オープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）のクロージャー（閉包）に包含されているという命題を認めている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）はローカルにクローズド（閉）である、もしも、それがベーススペース（空間）のあるクローズドサブセット（部分集合）とあるオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

---

本体

---

1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$に対して、任意のサブスペース（部分空間）$T_1\subseteq T$はローカルにクローズド（閉）である、もしも、$T_1=C\cap U$、ここで、$C$および$U$は$T$のそれぞれクローズドセット（閉集合）およびオープンセット（開集合）、である場合、そしてその場合に限って。

---

2: 証明

$T_1=C\cap U$であると仮定しよう。$T_1=\overline{T_1}\cap U$、なぜなら、明らかに、$\overline{T_1}\cap U\subseteq C\cap U$、そして、任意のポイント$p\in C\cap U$に対して、$p\in T_1$および$p\in U$、したがって、$p\in \overline{T_1}\cap U$、したがって、$C\cap P\subseteq \overline{T_1}\cap U$。もしも、$U\cap T_1$が$U$上でクローズド（閉）であれば、$U$を、$T_1$がローカルにクローズド（閉）であるために求められる、各ポイント$p\in T_1$のオープンネイバーフッド（開近傍）として取れる。しかし、$U\cap T_1$は実のところ$U$上でクローズド（閉）である、なぜなら、$U\cap T_1=U\cap \overline{T_1}\cap U=\overline{T_1}\cap U$。

$T_1$はローカルにクローズド（閉）であると仮定しよう。$U:={\cup }_p{U}_p$、ここで、$U_p\subseteq T$は、$T_1$がローカルにクローズド（閉）であるために求められる、$p$の$T$上のオープンネイバーフッド（開近傍）、と定義しよう、したがって、$U_p\cap T_1$は$U_p$上でクローズド（閉）である。$U$は$T$上でオープン（開）である。$C=\overline{T_1}$、$T$上でクローズド（閉）、を定義しよう。すると、$C\cap U=\overline{T_1}\cap {\cup }_p{U}_p={\cup }_p(\overline{T_1}\cap U_p)={\cup }_p(T_1\cap U_p)=T_1$、ここで、最後から2番目のイコールの理由は、一方では、$(T_1\cap U_p)\subseteq (\overline{T_1}\cap U_p)\subseteq \overline{T_1\cap U_p}$、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）と任意のオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）と当該オープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）のクロージャー（閉包）に包含されているという命題によって、そして他方では、$T_1\cap U_p=\overline{T_1\cap U_p}\cap U_p$、なぜなら、$T_1\cap U_p$は$U_p$上でクローズド（閉）であるから、以下を満たすあるクローズドサブセット（閉部分集合）$C_p\subseteq T$、つまり、$T_1\cap U_p=C_p\cap U_p$、がある、しかし、$T_1\cap U_p\subseteq C_p$で、$C_p$はクローズド（閉）であるから、$\overline{T_1\cap U_p}\subseteq C_p$、そして、実のところ、$C_p$は$\overline{T_1\cap U_p}$であるように取ることができる、したがって、$T_1\cap U_p=C_p\cap U_p=\overline{T_1\cap U_p}\cap U_p$、すると、$T_1\cap U_p\cap U_p=T_1\cap U_p\subseteq (\overline{T_1}\cap U_p)\cap U_p\subseteq \overline{T_1\cap U_p}\cap U_p$であるが、第1項と第3項は等しい、したがって、第2項は第1項と等しい、そして、最後のイコールは、$U$は$T_1$をカバーするから。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>