ローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）のオープンサブスペース（開部分空間）はローカルにコンパクトであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）サブセット（部分集合）でベーススペース（空間）でコンパクトであるものは当該サブスペース（部分空間）でコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のサブスペース（部分空間）はハウスドルフであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）はローカルにコンパクトである、もしも、任意のポイントの周りにあるコンパクトネイバーフッド（近傍）がある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のオープン（開）サブスペース（部分空間）はローカルにコンパクトであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）\(T_1\)に対して、任意のオープンサブスペース（開部分集合）\(T_2 \subseteq T_1\)はローカルにコンパクトである。
2: 証明
任意のポイント\(p \in T_2\)に対して、\(T_2\)は\(p\)の\(T_1\)上のネイバーフッド（近傍）である。\(p\)の\(T_1\)上のあるコンパクトネイバーフッド（近傍）\(N'_p \subseteq T_1\)、つまり、\(N'_p \subseteq T_2\)、がある、ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）の定義によって。\(N'_p\)は\(T_2\)上でもコンパクトである、トポロジカルスペース（空間）に対して、サブスペース（部分空間）サブセット（部分集合）でベーススペース（空間）上でコンパクトであるものはサブスペース（部分空間）でコンパクトであるという命題によって。
\(T_2\)はローカルにコンパクトである、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のサブスペース（部分空間）はハウスドルフであるという命題および任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）はローカルにコンパクトである、もしも、任意のポイントの周りにあるコンパクトネイバーフッド（近傍）がある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
3: 注
注意として、\(T_1\)のハウスドルフであることがここで使われている、他方で、任意のクローズド（閉）サブスペース（部分空間）は、\(T_1\)がハウスドルフであることなしに、ローカルにコンパクトである。
