レギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）に対して、クローズドサブセット（閉部分集合）によるコラプスト（折りたたまれた）トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、レギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
- 読者は、サブセット（部分集合）によるコラプスト（折りたたまれた）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）に対して、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）によるコラプスト（折りたたまれた）トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）\(T\)および任意のクローズドサブセット（閉部分集合）\(S \subseteq T\)に対して、コラプスト（折りたたまれた）トポロジカルスペース（空間）\(T/S\)はハウスドルフである。
2: 証明
\(f\)が当該クウォシェント（商）マップ（写像）\(f: T \rightarrow T/S\)であるとし、\(p_1, p_2 \in T/S\)は\(T/S\)上の以下を満たす任意のポイントたち、つまり、\(p_1 \neq p_2\)、であるとする。
もしも、\(p_1, p_2 \in T \setminus S\)である場合、\(T\)はレギュラー（正則）であり、したがって、ハウスドルフであるから、\(p_1, p_2\)の周りに、以下を満たすあるオープンセット（開集合）たち\(U_1, U_2 \subseteq T\)、つまり、\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)、がある。\(U'_i := U_i \cap (T \setminus S)\)は\(T\)上でオープン（開）であり、\(p_i\)を包含する、そして、\(U'_1 \cap U'_2 = \emptyset\)。\(f (U'_i) = U'_i\)は\(T/S\)上でオープン（開）である、なぜなら、\(f^{-1} (f (U'_i)) = U'_i\)は\(T\)上でオープン（開）である。\(f (U'_i)\)は\(p_i\)を包含している。\(f (U'_1) \cap f (U'_2) = U'_1 \cap U'_2 = \emptyset\)。
もしも、\(p_1 \in T \setminus S\)かつ\(p_2 = S\)である場合、\(T\)はレギュラー（正則）であるから、\(p_1, S\)の周りに、以下を満たすあるオープンセット（開集合）たち\(U_1, U_2 \subseteq T\)、つまり、\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)、がある。\(f (U_i)\)は\(T/S\)上でオープン（開）である、なぜなら、\(f^{-1} (f (U_i)) = U_i\)は\(T\)上でオープン（開）であるから。\(f (U_i)\)は\(p_i\)を包含している。\(f (U_1) \cap f (U_2) = \emptyset\)。
もしも、\(p_1 = S\)かつ\(p_2 \in T \setminus S\)である場合、状況は上記ケースと対称である。
