329: レギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）に対して、クローズドサブセット（閉部分集合）によるコラプスト（折りたたまれた）トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフである

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レギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）に対して、クローズドサブセット（閉部分集合）によるコラプスト（折りたたまれた）トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフであることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、レギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
• 読者は、サブセット（部分集合）によるコラプスト（折りたたまれた）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）に対して、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）によるコラプスト（折りたたまれた）トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）$T$および任意のクローズドサブセット（閉部分集合）$S\subseteq T$に対して、コラプスト（折りたたまれた）トポロジカルスペース（空間）$T/S$はハウスドルフである。

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2: 証明

$f$が当該クウォシェント（商）マップ（写像）$f:T\to T/S$であるとし、$p_1,p_2\in T/S$は$T/S$上の以下を満たす任意のポイントたち、つまり、$p_1\ne p_2$、であるとする。

もしも、$p_1,p_2\in T\setminus S$である場合、$T$はレギュラー（正則）であり、したがって、ハウスドルフであるから、$p_1,p_2$の周りに、以下を満たすあるオープンセット（開集合）たち$U_1,U_2\subseteq T$、つまり、$U_1\cap U_2=\mathrm{\varnothing }$、がある。$U_i^{\prime }:=U_i\cap (T\setminus S)$は$T$上でオープン（開）であり、$p_i$を包含する、そして、$U_1^{\prime }\cap U_2^{\prime }=\mathrm{\varnothing }$。$f(U_i^{\prime })=U_i^{\prime }$は$T/S$上でオープン（開）である、なぜなら、$f^{-1}(f(U_i^{\prime }))=U_i^{\prime }$は$T$上でオープン（開）である。$f(U_i^{\prime })$は$p_i$を包含している。$f(U_1^{\prime })\cap f(U_2^{\prime })=U_1^{\prime }\cap U_2^{\prime }=\mathrm{\varnothing }$。

もしも、$p_1\in T\setminus S$かつ$p_2=S$である場合、$T$はレギュラー（正則）であるから、$p_1,S$の周りに、以下を満たすあるオープンセット（開集合）たち$U_1,U_2\subseteq T$、つまり、$U_1\cap U_2=\mathrm{\varnothing }$、がある。$f(U_i)$は$T/S$上でオープン（開）である、なぜなら、$f^{-1}(f(U_i))=U_i$は$T$上でオープン（開）であるから。$f(U_i)$は$p_i$を包含している。$f(U_1)\cap f(U_2)=\mathrm{\varnothing }$。

もしも、$p_1=S$かつ$p_2\in T\setminus S$である場合、状況は上記ケースと対称である。

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参考資料

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