トポロジカルスペース（空間）間のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、コドメイン（余域）の各クローズドサブセット（閉部分集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、コドメイン（余域）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2\)、任意のマップ（写像）\(f: T_1 \rightarrow T_2\)に対して、\(f\)はコンティニュアス（連続）である、もしも、各クローズドサブセット（閉部分集合）\(C \in T_2\)に対して、プリイメージ（前像）\(f^{-1} (C)\)が\(T_1\)上でクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って。
2: 証明
\(f^{-1} (C)\)は\(T_1\)上でクローズド（閉）であると仮定しよう。任意のオープンサブセット（開部分集合）\(U \subseteq T_2\)に対して、\(C\)を\(C:= T_2 \setminus U\)、\(T_2\)上でクローズド（閉）、と取れる。\(f^{-1} (U) = f^{-1} (T_2 \setminus C) = T_1 \setminus f^{-1} (C)\)、任意のマップ（写像）の下のコドメイン（余域） マイナス 任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域） マイナス そのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題によって、そして、\(f^{-1} (C)\)は\(T_1\)上でクローズド（閉）であるから、\(f^{-1} (U)\)は\(T_1\)上でオープン（開）である。
\(f\)はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。\(U:= T_2 \setminus C\)は\(T_2\)上でオープン（開）である。\(f^{-1} (C) = f^{-1} (T_2 \setminus U) = T_1 \setminus f^{-1} (U)\)、任意のマップ（写像）の下のコドメイン（余域） マイナス 任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域） マイナス そのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題によって、それは、\(T_1\)上でクローズド（閉）である。
