331: トポロジカルスペース（空間）間のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、コドメイン（余域）の各クローズドサブセット（閉部分集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って

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トポロジカルスペース（空間）間のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、コドメイン（余域）の各クローズドサブセット（閉部分集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、コンティニュアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
• 読者は、任意のマップ（写像）の下のコドメイン（余域） マイナス 任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域） マイナス そのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、コドメイン（余域）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2$、任意のマップ（写像）$f:T_1\to T_2$に対して、$f$はコンティニュアス（連続）である、もしも、各クローズドサブセット（閉部分集合）$C\in T_2$に対して、プリイメージ（前像）$f^{-1}(C)$が$T_1$上でクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って。

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2: 証明

$f^{-1}(C)$は$T_1$上でクローズド（閉）であると仮定しよう。任意のオープンサブセット（開部分集合）$U\subseteq T_2$に対して、$C$を$C:=T_2\setminus U$、$T_2$上でクローズド（閉）、と取れる。$f^{-1}(U)=f^{-1}(T_2\setminus C)=T_1\setminus f^{-1}(C)$、任意のマップ（写像）の下のコドメイン（余域） マイナス 任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域） マイナス そのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題によって、そして、$f^{-1}(C)$は$T_1$上でクローズド（閉）であるから、$f^{-1}(U)$は$T_1$上でオープン（開）である。

$f$はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。$U:=T_2\setminus C$は$T_2$上でオープン（開）である。$f^{-1}(C)=f^{-1}(T_2\setminus U)=T_1\setminus f^{-1}(U)$、任意のマップ（写像）の下のコドメイン（余域） マイナス 任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域） マイナス そのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題によって、それは、$T_1$上でクローズド（閉）である。

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参考資料

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