トポロジカルスペース（空間）たち間のクローズド（閉）コンティニュアス（連続）マップ（写像）でコンパクトファイバーたちをを持っているものはプロパーであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、クローズド（閉）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、コンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）のファイバーの定義を知っている。
- 読者は、プロパーマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）の下でのコドメイン（余域） マイナス 任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域） マイナス そのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）の当該マップ（写像）の後のプリイメージ（前像）コンポジション（合成）は当該引数セット（集合）を含んでいるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間クローズド（閉）コンティニュアス（連続）マップ（写像）でコンパクトファイバーたちを持つものはプロパーであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2\)に対して、任意のクローズド（閉）コンティニュアス（連続）マップ（写像）でコンパクトファイバーたちを持つもの\(f: T_1 \rightarrow T_2\)はプロパーである。
2: 証明
\(S \subseteq T_2\)を任意のコンパクトサブセット（部分集合）だとしよう。\(O := \{U_\alpha \subseteq T_1\vert \alpha \in A\}\)、ここで、\(A\)は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）、を\(f^{-1} (S)\)の任意のオープンカバー（開被覆）としよう。任意のポイント\(p \in S\)に対して、\(f^{-1} (p)\)はコンパクトである。\(O\)は\(f^{-1} (p)\)のオープンカバー（開被覆）であり、あるファイナイト（有限）サブカバー\(O_p := \{U_i \in O\vert i \in I_p\}\)、ここで、\(I_p \subseteq A\)はあるファイナイト（有限）インデックスたちセット（集合）、を持つ。\(U'_p := \cup_{i \in I_p} U_i\)を定義しよう。\(T_1 \setminus U'_p\)は\(T_1\)上でクローズド（閉）である。\(f (T_1 \setminus U'_p)\)は\(T_2\)上でクローズド（閉）である。\(T_2 \setminus f (T_1 \setminus U'_p)\)は\(T_2\)上でオープン（開）である。\(p \in T_2 \setminus f (T_1 \setminus U'_p)\)、なぜなら、任意の\(p' \in T_1 \setminus U'_p\)に対して、\(f (p') \neq p\)。\(\{T_2 \setminus f (T_1 \setminus U'_p)\vert p \in S\}\)は\(S\)のオープンカバー（開被覆）であり、あるファイナイト（有限）サブカバー\(\{T_2 \setminus f (T_1 \setminus U'_{p_i})\vert p_i \in S' \subseteq S\}\)、ここで、\(S'\)はファイナイト（有限）数ポイントたちのあるセット（集合）、を持つ。
\(f^{-1} (S) \subseteq f^{-1} (\cup_{p_i \in S'} (T_2 \setminus f (T_1 \setminus U'_{p_i}))) = \cup_{p_i \in S'} f^{-1} (T_2 \setminus f (T_1 \setminus U'_{p_i})) = \cup_{p_i \in S'} (T_1 \setminus f^{-1} f (T_1 \setminus U'_{p_i}))\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、および任意のマップ（写像）の下でのコドメイン（余域） マイナス 任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域） マイナス そのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題によって。\(T_1 \setminus U'_{p_i} \subseteq f^{-1} f (T_1 \setminus U'_{p_i})\)、任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）の当該マップ（写像）の後のプリイメージ（前像）コンポジション（合成）は当該引数セット（集合）を含んでいるという命題によって。\(T_1 \setminus f^{-1} f (T_1 \setminus U'_{p_i}) \subseteq U'_{p_i}\)。したがって、\(f^{-1} (S) \subseteq \cup_{p_i \in S'} U'_{p_i}\)、それが意味するのは、\(\{U_i \subseteq O\vert i \in I_{p_j}, p_j \in S'\}\)は\(O\)のファイナイト（有限）サブカバーであるということ。
