395: トポロジカルスペース（空間）たち間のクローズド（閉）コンティニュアス（連続）マップ（写像）でコンパクトファイバーたちをを持っているものはプロパーである

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トポロジカルスペース（空間）たち間のクローズド（閉）コンティニュアス（連続）マップ（写像）でコンパクトファイバーたちをを持っているものはプロパーであることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、クローズド（閉）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、コンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。
• 読者は、マップ（写像）のファイバーの定義を知っている。
• 読者は、プロパーマップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のマップ（写像）の下でのコドメイン（余域） マイナス 任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域） マイナス そのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）の当該マップ（写像）の後のプリイメージ（前像）コンポジション（合成）は当該引数セット（集合）を含んでいるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間クローズド（閉）コンティニュアス（連続）マップ（写像）でコンパクトファイバーたちを持つものはプロパーであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2$に対して、任意のクローズド（閉）コンティニュアス（連続）マップ（写像）でコンパクトファイバーたちを持つもの$f:T_1\to T_2$はプロパーである。

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2: 証明

$S\subseteq T_2$を任意のコンパクトサブセット（部分集合）だとしよう。$O:=\{U_{\alpha }\subseteq T_1|\alpha \in A\}$、ここで、$A$は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）、を$f^{-1}(S)$の任意のオープンカバー（開被覆）としよう。任意のポイント$p\in S$に対して、$f^{-1}(p)$はコンパクトである。$O$は$f^{-1}(p)$のオープンカバー（開被覆）であり、あるファイナイト（有限）サブカバー$O_p:=\{U_i\in O|i\in I_p\}$、ここで、$I_p\subseteq A$はあるファイナイト（有限）インデックスたちセット（集合）、を持つ。$U_p^{\prime }:={\cup }_{i\in I_p}{U}_i$を定義しよう。$T_1\setminus U_p^{\prime }$は$T_1$上でクローズド（閉）である。$f(T_1\setminus U_p^{\prime })$は$T_2$上でクローズド（閉）である。$T_2\setminus f(T_1\setminus U_p^{\prime })$は$T_2$上でオープン（開）である。$p\in T_2\setminus f(T_1\setminus U_p^{\prime })$、なぜなら、任意の$p^{\prime }\in T_1\setminus U_p^{\prime }$に対して、$f(p^{\prime })\ne p$。$\{T_2\setminus f(T_1\setminus U_p^{\prime })|p\in S\}$は$S$のオープンカバー（開被覆）であり、あるファイナイト（有限）サブカバー$\{T_2\setminus f(T_1\setminus U_{p_i}^{\prime })|p_i\in S^{\prime }\subseteq S\}$、ここで、$S^{\prime }$はファイナイト（有限）数ポイントたちのあるセット（集合）、を持つ。

$f^{-1}(S)\subseteq f^{-1}({\cup }_{p_i\in S^{\prime }}(T_2\setminus f(T_1\setminus U_{p_i}^{\prime })))={\cup }_{p_i\in S^{\prime }}{f}^{-1}(T_2\setminus f(T_1\setminus U_{p_i}^{\prime }))={\cup }_{p_i\in S^{\prime }}(T_1\setminus f^{-1}f(T_1\setminus U_{p_i}^{\prime }))$、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、および任意のマップ（写像）の下でのコドメイン（余域） マイナス 任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域） マイナス そのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題によって。$T_1\setminus U_{p_i}^{\prime }\subseteq f^{-1}f(T_1\setminus U_{p_i}^{\prime })$、任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）の当該マップ（写像）の後のプリイメージ（前像）コンポジション（合成）は当該引数セット（集合）を含んでいるという命題によって。$T_1\setminus f^{-1}f(T_1\setminus U_{p_i}^{\prime })\subseteq U_{p_i}^{\prime }$。したがって、$f^{-1}(S)\subseteq {\cup }_{p_i\in S^{\prime }}{U}_{p_i}^{\prime }$、それが意味するのは、$\{U_i\subseteq O|i\in I_{p_j},p_j\in S^{\prime }\}$は$O$のファイナイト（有限）サブカバーであるということ。

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参考資料

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