396: トポロジカルスペース（空間）たち間コンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）でクローズド（閉）レンジ（値域）を持つものはプロパーである

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トポロジカルスペース（空間）たち間コンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）でクローズド（閉）レンジ（値域）を持つものはプロパーであることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、コンティニュアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）の定義を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
• 読者は、マップ（写像）のレンジ（値域）の定義を知っている。
• 読者は、プロパーマップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）サブセット（部分集合）でベーススペース（空間）でコンパクトであるものは当該サブスペース（部分空間）でコンパクトであるという命題を認めている。
• 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）イメージ（像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）で任意のクローズド（閉）レンジ（値域）を持つものはプロパーであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2$に対して、任意のコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）で任意のクローズド（閉）レンジ（値域）を持つもの$f:T_1\to T_2$はプロパーである。

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2: 証明

$f$のレンジ（値域）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）$f^{\prime }:T_1\to f(T_1)$はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。$S\subseteq T_2$を任意のコンパクトサブセット（部分集合）であるとしよう。$S$はサブスペース（部分空間）としてコンパクトである、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって。$O:=\{U_{\alpha }\subseteq T_1|\alpha \in A\}$、ここで、$A$はアンカウンタブル（不可算）かもしれない任意のインデックスたちセット（集合）、を$f^{-1}(S)$の任意のオープンカバー（開被覆）であるとしよう。$S\cap f(T_1)$は$S$上でクローズド（閉）である、したがって、$S$上でコンパクトである、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題によって、そして、$T_2$上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題によって、そして、$f(T_1)$上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）サブセット（部分集合）でベーススペース（空間）でコンパクトであるものは当該サブスペース（部分空間）でコンパクトであるという命題によって。

$f(U_{\alpha })$は$f(T_1)$上でオープン（開）である、なぜなら、$f^{\prime }$はホメオモーフィック（位相同形写像）である。$\{f(U_{\alpha })|\alpha \in A\}$は$S\cap f(T_1)=S\cap f\circ f^{-1}(S)$（そのイコールの理由は、$T_1\setminus f^{-1}(S)$上の任意のポイントは$S$の中へどのみちマップしない こと）の$f(T_1)$上におけるオープンカバー（開被覆）である、なぜなら、任意のポイント$p\in S\cap f\circ f^{-1}(S)$に対して、$f^{-1}(p)\in {\cup }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha }$、$p\in f({\cup }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha })={\cup }_{\alpha \in A}f(U_{\alpha })$、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）イメージ（像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。あるファイナイト（有限）サブカバー$\{f(U_i)|i\in I\subseteq A\}$、ここで、$I$はあるファイナイト（有限）インデックスたちセット（集合）、がある。$\{U_i|i\in I\}$は$O$のあるファイナイト（有限）サブカバーである、なぜなら、任意の$p\in f^{-1}(S)$に対して、$f(p)\in S\cap f\circ f^{-1}(S)\subseteq {\cup }_{i\in I}f(U_i)$、したがって、ある$i$に対して$f(p)\in f(U_i)$、それが意味するのは、$p\in U_i$、なぜなら、$f$はインジェクティブ（単射）である。

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参考資料

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