トポロジカルスペース（空間）たち間コンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）でクローズド（閉）レンジ（値域）を持つものはプロパーであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンティニュアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）の定義を知っている。
- 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）のレンジ（値域）の定義を知っている。
- 読者は、プロパーマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）サブセット（部分集合）でベーススペース（空間）でコンパクトであるものは当該サブスペース（部分空間）でコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）イメージ（像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）で任意のクローズド（閉）レンジ（値域）を持つものはプロパーであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2\)に対して、任意のコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）で任意のクローズド（閉）レンジ（値域）を持つもの\(f: T_1 \rightarrow T_2\)はプロパーである。
2: 証明
\(f\)のレンジ（値域）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）\(f': T_1 \rightarrow f (T_1)\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。\(S \subseteq T_2\)を任意のコンパクトサブセット（部分集合）であるとしよう。\(S\)はサブスペース（部分空間）としてコンパクトである、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって。\(O := \{U_\alpha \subseteq T_1\vert \alpha \in A\}\)、ここで、\(A\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれない任意のインデックスたちセット（集合）、を\(f^{-1} (S)\)の任意のオープンカバー（開被覆）であるとしよう。\(S \cap f (T_1)\)は\(S\)上でクローズド（閉）である、したがって、\(S\)上でコンパクトである、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題によって、そして、\(T_2\)上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題によって、そして、\(f (T_1)\)上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）サブセット（部分集合）でベーススペース（空間）でコンパクトであるものは当該サブスペース（部分空間）でコンパクトであるという命題によって。
\(f (U_\alpha)\)は\(f (T_1)\)上でオープン（開）である、なぜなら、\(f'\)はホメオモーフィック（位相同形写像）である。\(\{f (U_\alpha) \vert \alpha \in A\}\)は\(S \cap f (T_1) = S \cap f \circ f^{-1} (S)\)（そのイコールの理由は、\(T_1 \setminus f^{-1} (S)\)上の任意のポイントは\(S\)の中へどのみちマップしない こと）の\(f (T_1)\)上におけるオープンカバー（開被覆）である、なぜなら、任意のポイント\(p \in S \cap f \circ f^{-1} (S)\)に対して、\(f^{-1} (p) \in \cup_{\alpha \in A} U_\alpha\)、\(p \in f (\cup_{\alpha \in A} U_\alpha) = \cup_{\alpha \in A} f (U_\alpha)\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）イメージ（像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。あるファイナイト（有限）サブカバー\(\{f (U_i)\vert i \in I \subseteq A\}\)、ここで、\(I\)はあるファイナイト（有限）インデックスたちセット（集合）、がある。\(\{U_i\vert i \in I\}\)は\(O\)のあるファイナイト（有限）サブカバーである、なぜなら、任意の\(p \in f^{-1} (S)\)に対して、\(f (p) \in S \cap f \circ f^{-1} (S) \subseteq \cup_{i \in I} f (U_i)\)、したがって、ある\(i\)に対して\(f (p) \in f (U_i)\)、それが意味するのは、\(p \in U_i\)、なぜなら、\(f\)はインジェクティブ（単射）である。
