トポロジカルスペース（空間）からハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）でコンティニュアス（連続）左インバース（逆）を持つものはプロパーであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）のレフトインバース（左逆）の定義を知っている。
- 読者は、プロパーマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題を認めている。
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）間マップ（写像）に対して、任意のプリイメージ（前像）の後のそのマップ（写像）による合成は引数セット（集合）の中に含まれているという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の中への任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）で任意のコンティニュアス（連続）左インバース（逆）を持つものはプロパーであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T_1\)、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）\(T_2\)に対して、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）\(f: T_1 \rightarrow T_2\)で任意のコンティニュアス（連続）左インバース（逆）\(f': T_2 \rightarrow T_1\)を持つ、それが意味するのは、\(f' \circ f\)はアイデンティマップ（恒等写像）である、ものは、プロパーである。
2: 証明
\(f\)はインジェクティブ（単射）であり、\(f'\)はサージェクティブ（全射）である。\(S\)を\(T_2\)の任意のコンパクトサブセット（部分集合）であるとしよう。\(S\)はサブスペース（部分空間）としてコンパクトである、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって。\(S\)はクローズド（閉）である、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題によって。\(f^{-1} (S)\)はクローズド（閉）である。\(O := \{U_\alpha \subseteq T_1\vert \alpha \in A\}\)、ここで、\(A\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれない任意のインデックスたちセット（集合）、を\(f^{-1} (S)\)の任意のオープンカバー（開被覆）であるとしよう。\(S \cap f'^{-1} \circ f^{-1} (S)\)は\(S\)上でクローズド（閉）である、そしてしたがって、\(S\)上でコンパクトである、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題によって、そしてしたがって、\(T_2\)上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題によって。
\(f'^{-1} (U_\alpha)\)は\(T_2\)上でオープン（開）である、そして、\(\{f'^{-1} (U_\alpha)\vert \alpha \in A\}\)は\(S \cap f'^{-1} \circ f^{-1} (S)\)の\(T_2\)上におけるオープンカバー（開被覆）である、なぜなら、\(f^{-1} (S) \subseteq \cup_{\alpha \in A} U_\alpha\)、\(f'^{-1} (f^{-1} (S)) \subseteq f'^{-1} (\cup_{\alpha \in A} U_\alpha) = \cup_{\alpha \in A} (f'^{-1} (U_\alpha))\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、そして、あるファイナイト（有限）サブカバー\(\{f'^{-1} (U_i)\vert i \in I \subseteq A\}\)、ここで、\(I\)はあるファイナイト（有限）インデックスたちセット（集合）、を持つ。\(\{U_i\vert i \in I\}\)は\(O\)のファイナイト（有限）サブカバーである、なぜなら、任意の\(p \in f^{-1} (S)\)に対して、\(f (p) \in S \cap f \circ f^{-1} (S) \subseteq S \cap f'^{-1} \circ f^{-1} (S)\)、したがって、ある\(i \in I\)に対して\(f (p) \in f'^{-1} (U_i)\)、\(f' \circ f (p) = p \in f' \circ f'^{-1} (U_i) \subseteq U_i\)、任意のセット（集合）間マップ（写像）に対して、任意のプリイメージ（前像）の後のそのマップ（写像）による合成は引数セット（集合）の中に含まれているという命題によって。
