2023年10月29日日曜日

397: トポロジカルスペース（空間）からハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）でコンティニュアス（連続）左インバース（逆）を持つものはプロパーである

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トポロジカルスペース（空間）からハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）でコンティニュアス（連続）左インバース（逆）を持つものはプロパーであることの記述/証明

話題


About: トポロジカルスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の中への任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）で任意のコンティニュアス（連続）左インバース（逆）を持つものはプロパーであるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述


任意のトポロジカルスペース（空間）T1、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）T2に対して、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）f:T1→T2で任意のコンティニュアス（連続）左インバース（逆）f′:T2→T1を持つ、それが意味するのは、f′∘fはアイデンティマップ（恒等写像）である、ものは、プロパーである。

2: 証明


fはインジェクティブ（単射）であり、f′はサージェクティブ（全射）である。SをT2の任意のコンパクトサブセット（部分集合）であるとしよう。Sはサブスペース（部分空間）としてコンパクトである、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって。Sはクローズド（閉）である、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題によって。f−1(S)はクローズド（閉）である。O:={Uα⊆T1|α∈A}、ここで、Aはアンカウンタブル（不可算）かもしれない任意のインデックスたちセット（集合）、をf−1(S)の任意のオープンカバー（開被覆）であるとしよう。S∩f′−1∘f−1(S)はS上でクローズド（閉）である、そしてしたがって、S上でコンパクトである、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題によって、そしてしたがって、T2上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題によって。

f′−1(Uα)はT2上でオープン（開）である、そして、{f′−1(Uα)|α∈A}はS∩f′−1∘f−1(S)のT2上におけるオープンカバー（開被覆）である、なぜなら、f−1(S)⊆∪α∈AUα、f′−1(f−1(S))⊆f′−1(∪α∈AUα)=∪α∈A(f′−1(Uα))、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、そして、あるファイナイト（有限）サブカバー{f′−1(Ui)|i∈I⊆A}、ここで、Iはあるファイナイト（有限）インデックスたちセット（集合）、を持つ。{Ui|i∈I}はOのファイナイト（有限）サブカバーである、なぜなら、任意のp∈f−1(S)に対して、f(p)∈S∩f∘f−1(S)⊆S∩f′−1∘f−1(S)、したがって、あるi∈Iに対してf(p)∈f′−1(Ui)、f′∘f(p)=p∈f′∘f′−1(Ui)⊆Ui、任意のセット（集合）間マップ（写像）に対して、任意のプリイメージ（前像）の後のそのマップ（写像）による合成は引数セット（集合）の中に含まれているという命題によって。

参考資料
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