429: ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の中への2つのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちでポイントで不一致であるものはポイントのネイバーフッド（近傍）で不一致である

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ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の中への2つのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちでポイントで不一致であるものはポイントのネイバーフッド（近傍）で不一致であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、ポイントのネイバーフッド（近傍）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の中への任意の2つのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちで任意のポイントで不一致であるものは当該ポイントのあるネイバーフッド（近傍）で不一致であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T_1$、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）$T_2$、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち$f_1,f_2:T_1\to T_2$に対して、もしも、任意のポイント$p\in T_1$において$f_1(p)\ne f_2(p)$であれば、$p$の以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）$N_p$、つまり、各ポイント$p^{\prime }\in N_p$に対して$f_1(p^{\prime })\ne f_2(p^{\prime })$、がある。

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2: 証明

$f_1(p)\ne f_2(p)$であると仮定しよう。$f_1(p),f_2(p)$の以下を満たすあるディスジョイント（互いに素な）オープンネイバーフッド（開近傍）たち$U_{f_1(p)},U_{f_2(p)}\in T_2$、つまり、$U_{f_1(p)}\cap U_{f_2(p)}=\mathrm{\varnothing }$、がある、なぜなら、$T_2$はハウスドルフである。$f_i$はコンティニュアス（連続）であるから、$p$の以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）$N_{p,i}$、つまり、$f_i(N_{p,i})\subseteq U_{f_i(p)}$、がある。$N_p:=N_{p,1}\cap N_{p,2}$はネイバーフッド（近傍）であり、$f_i(N_p)\subseteq U_{f_i(p)}$。$f_1(N_p)\cap f_2(N_p)=\mathrm{\varnothing }$、それが意味するのは、各$p^{\prime }\in N_p$に対して$f_1(p^{\prime })\ne f_2(p^{\prime })$。

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参考資料

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