430: コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）からハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の中への以下を満たす2つのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち、つまり、任意のポイントに対して、もしもそれらがポイントにおいて一致すれば、それらはネイバーフッド（近傍）で一致する、は全体として一致するか全体として不一致である

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コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）からハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の中への以下を満たす2つのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち、つまり、任意のポイントに対して、もしもそれらがポイントにおいて一致すれば、それらはネイバーフッド（近傍）で一致する、は全体として一致するか全体として不一致であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、ポイントのネイバーフッド（近傍）の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の中への任意の2つのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちで任意のポイントで不一致であるものは当該ポイントのあるネイバーフッド（近傍）で不一致であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）から任意のトポロジカルスペース（空間）の中への以下を満たす任意の2つのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち、つまり、任意のポイントに対して、もしもそれらがそのポイントで一致すれば、それらはあるネイバーフッド（近傍）で一致し、もしもそれらがそのポイントで不一致であれば、それらはあるネイバーフッド（近傍）で不一致である、はドメイン（定義域）全体上で全体として一致するか全体として不一致であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）から任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の中への以下を満たす任意の2つのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち、つまり、任意のポイントに対して、もしもそれら（マップ（写像）たち）が当該ポイントにおいて一致すれば、それらはあるネイバーフッド（近傍）上で一致する、はドメイン（定義域）全体上で全体として一致するか全体として不一致であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）$T_1$、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）$T_2$、以下を満たす任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち$f_1,f_2:T_1\to T_2$、つまり、もしも任意のポイントにおいて$f_1(p)=f_2(p)$である場合、$p$の以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）$N_p$、つまり、各$p^{\prime }\in N_p$に対して$f_1(p^{\prime })=f_2(p^{\prime })$、がある、に対して、各$p\in T_1$に対して$f_1(p)=f_2(p)$であるか各$p\in T_1$に対して$f_1(p)\ne f_2(p)$であるかである。

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2: 証明

$f_1$と$f_2$はあるネイバーフッド（近傍）上で不一致である、もしも任意のポイントにおいて不一致である場合、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の中への任意の2つのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちで任意のポイントで不一致であるものは当該ポイントのあるネイバーフッド（近傍）で不一致であるという命題によって。したがって、$f_1$と$f_2$は$T_1$全体上で全体として一致するか全体として不一致であるかである、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）から任意のトポロジカルスペース（空間）の中への以下を満たす任意の2つのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち、つまり、任意のポイントに対して、もしもそれらがそのポイントで一致すれば、それらはあるネイバーフッド（近傍）で一致し、もしもそれらがそのポイントで不一致であれば、それらはあるネイバーフッド（近傍）で不一致である、はドメイン（定義域）全体上で全体として一致するか全体として不一致であるという命題によって。

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3: 注

任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）はハウスドルフである、したがって、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）から任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）の中への任意の2つのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちでそれらが任意のポイントにおいて一致すればあるネイバーフッド（近傍）で一致するものは、ドメイン（定義域）全体で全体として一致するか全体として不一致である。

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参考資料

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