511: Rnベクトルのユークリディアンノルムの2乗は、ポジティブデフィニット（正定値）リアル（実）クオドラティック（2次）フォーム（形式）を最小アイゲンバリュー（固有値）で割ったものに等しいかより小さい

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${\mathbb{R}}^n$ベクトルのユークリディアンノルムの2乗は、ポジティブデフィニット（正定値）リアル（実）クオドラティック（2次）フォーム（形式）を最小アイゲンバリュー（固有値）で割ったものに等しいかより小さいことの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、ポジティブデフィニット（正定値）クオドラティック（2次）フォーム（形式）の定義を知っている。
• 読者は、ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）上のユークリディアンノルムの定義を知っている。
• 読者は、マトリックス（行列）のアイゲンバリュー（固有値）の定義を知っている。
• 読者は、オーソノーマル（正規直交）マトリックス（行列）の定義を知っている。
• 読者は、任意のリアル（実）シンメトリック（対称）マトリックス（行列）はあるオーソノーマル（正規直交）マトリックス（行列）によってダイアゴナライズド（対角化された）にできるという命題を認めている。
• 読者は、任意のオーソノーマル（正規直交）マトリックス（行列）のトランスポジション（転置）は元のマトリックス（行列）のインバース（逆）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の${\mathbb{R}}^n$ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のベクトルのユークリディアンノルムの2乗は、任意のポジティブデフィニット（正定値）リアル（実）クオドラティック（2次）フォーム（形式）を当該クオドラティック（2次）フォーム（形式）の最小アイゲンバリュー（固有値）で割ったものに等しいかより小さいという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
${\mathbb{R}}^d$: ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）ストラクチャー（構造）およびユークリディアンノルム$\Vert v\Vert =\sqrt{{v^1}^2+{v^2}^2+...+{v^d}^2}$を持ったもの
$M$: $\in \{\text{ 全てのリアル（実）シンメトリック（対称） }d\times d\text{ マトリックス（行列）たち }\}$
$f$: $\in \{{\mathbb{R}}^d\text{ 上方の全てのポジティブデフィニット（正定値）リアル（実）クオドラティック（2次）フォーム（形式）たち }\}$、$:{\mathbb{R}}^d\to \mathbb{R}$、$v\mapsto v^{t}Mv$
$v$: $\in {\mathbb{R}}^d$
${\lambda }_m$: $=M\text{ の最小アイゲンバリュー（固有値）}$、不可避に$0<{\lambda }_M$
//

ステートメント（言明）たち:
$\Vert v{\Vert }^2\le f(v)/{\lambda }_m$.
//

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2: 自然言語記述

${\mathbb{R}}^n$ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でユークリディアンノルム$\Vert v\Vert =\sqrt{{v^1}^2+{v^2}^2+...+{v^d}^2}$を持ったもの、任意のポジティブデフィニット（正定値）リアル（実）クオドラティック（2次）フォーム（形式）$f(v)=v^{t}Mv$、ここで、$M$はリアル（実）シンメトリック（対称）$d\times d$マトリックス（行列）、に対して、$\Vert v{\Vert }^2\le f(v)/{\lambda }_m$、ここで、${\lambda }_m$（不可避に$0<{\lambda }_m$）は$M$の最小アイゲンバリュー（固有値）、である。

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3: 証明

以下を満たすあるオーソノーマル（正規直交）マトリックス（行列）$M^{\prime }$、つまり、$M^{\prime -1}M{M}^{\prime }=[{\lambda }_1,...,{\lambda }_d]$、ここで、$[{\lambda }_1,...,{\lambda }_d]$はあるダイアゴーナル（対角）マトリックス（行列）、ここで、${\lambda }_i$はあるアイゲンバリュー（固有値）、がある、任意のリアル（実）シンメトリック（対称）マトリックス（行列）はあるオーソノーマル（正規直交）マトリックス（行列）によってダイアゴナライズド（対角化された）にできるという命題によって。$v^{\prime }:=M^{\prime -1}v$を定義しよう、したがって、$v=M^{\prime }{v}^{\prime }$。$f(v)=v^{\prime t}{M}^{\prime t}M{M}^{\prime }{v}^{\prime }=v^{\prime t}{M}^{\prime -1}M{M}^{\prime }{v}^{\prime }=v^{\prime t}[{\lambda }_1,...,{\lambda }_d]v^{\prime }={\lambda }_1{v^{\prime 1}}^2+{\lambda }_2{v^{\prime 2}}^2+...+{\lambda }_d{v^{\prime d}}^2$、任意のオーソノーマル（正規直交）マトリックス（行列）のトランスポジション（転置）は元のマトリックス（行列）のインバース（逆）であるという命題によって。

最小アイゲンバリュー（固有値）を${\lambda }_m$として表記しよう、それは、不可避に$0<{\lambda }_m$、なぜなら、$M$はポジティブデフィニット（正定値）である。${\lambda }_m\Vert v^{\prime }{\Vert }^2={\lambda }_m({v^{\prime 1}}^2+{v^{\prime 2}}^2+...+{v^{\prime d}}^2)\le {\lambda }_1{v^{\prime 1}}^2+{\lambda }_2{v^{\prime 2}}^2+...+{\lambda }_d{v^{\prime d}}^2=f(v)$。$M^{\prime }$はオーソノーマル（正規直交）マトリックス（行列）であるから、$\Vert v^{\prime }\Vert =\Vert v\Vert$。したがって、$\Vert v{\Vert }^2\le f(v)/{\lambda }_m$。

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参考資料

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