ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）\(C^\infty\)アトラスの定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）\(C^\infty\)アトラスの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( V\): \(\in \{\text{ 全ての }d\text{ -ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( \{b_1, ..., b_d\}\): \(\subseteq V\), \(\in \{V\text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}\)
\( \mathbb{R}^d\): \(= \text{ ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\( f\): \(: V \to \mathbb{R}^d\), \(v \mapsto (v^1, ..., v^d)\)で、\(v = v^j b_j\)を満たすもの
\( O\): \(= \{U \subseteq V \vert f (U) \in \mathbb{R}^d\text{ のトポロジー }\}\)
\( (V, f)\): \(\in \{V\text{ に対する全てのチャートたち }\}\)
\(*A\): \(= \text{ マキシマル（最大） }C^\infty \text{ アトラスで } (V, f)\text{ にコンパチブル（互換）なもの }\)
//
コンディションたち:
//
\(A\)は\(\{b_1, ..., b_d\}\)の選択には依存しない、なぜなら、別の\(\{b'_1, ..., b'_d\}\)および対応する\(f': V \to \mathbb{R}^d\)に対して、チャートたちトランジション（遷移）マップ（写像）たち\(f \circ f'^{-1}: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d\)および\(f' \circ f^{-1}: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d\)は\(C^\infty\)である: \(f \circ f'^{-1}\)はあるノンシンギュラー（非特異）マトリックス（行列）でもってリニア（線形）であり、\(f' \circ f^{-1}\)はそのインバース（逆）である。
2: 自然言語記述
任意の\(d\)-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）\(V\)、任意のベーシス（基底）\(\{b_1, ..., b_d\} \subseteq V\)、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）\(\mathbb{R}^d\)、以下を満たすマップ（写像）\(f: V \to \mathbb{R}^d\), \(v \mapsto (v^1, ..., v^d)\)、つまり、\(v = v^j b_j\)、チャート\((V, f)\)に対して、\((V, f)\)にコンパチブル（互換）なマキシマル（最大）\(C^\infty\)アトラス
3: 注
\(V\)で\(O\)を持ったものは、明らかにハウスドルフ、セカンドカウンタブル（可算）、ローカルにトポロジカルユークリディアントポロジカルスペース（空間）であるから、\(V\)で\(O\)および\(A\)を持ったものは\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）である。
