561: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）C∞アトラス

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ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）$C^{\mathrm{\infty }}$アトラスの定義

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）
About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）$C^{\mathrm{\infty }}$アトラスの定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ -ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$\{b_1,...,b_d\}$: $\subseteq V$, $\in \{V\text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}$
${\mathbb{R}}^d$: $=\text{ ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }$
$f$: $:V\to {\mathbb{R}}^d$, $v\mapsto (v^1,...,v^d)$で、$v=v^j{b}_j$を満たすもの
$O$: $=\{U\subseteq V|f(U)\in {\mathbb{R}}^d\text{ のトポロジー }\}$
$(V,f)$: $\in \{V\text{ に対する全てのチャートたち }\}$
$\ast A$: $=\text{ マキシマル（最大） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ アトラスで }(V,f)\text{ にコンパチブル（互換）なもの }$
//

コンディションたち:
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$A$は$\{b_1,...,b_d\}$の選択には依存しない、なぜなら、別の$\{b_1^{\prime },...,b_d^{\prime }\}$および対応する$f^{\prime }:V\to {\mathbb{R}}^d$に対して、チャートたちトランジション（遷移）マップ（写像）たち$f\circ f^{\prime -1}:{\mathbb{R}}^d\to {\mathbb{R}}^d$および$f^{\prime }\circ f^{-1}:{\mathbb{R}}^d\to {\mathbb{R}}^d$は$C^{\mathrm{\infty }}$である: $f\circ f^{\prime -1}$はあるノンシンギュラー（非特異）マトリックス（行列）でもってリニア（線形）であり、$f^{\prime }\circ f^{-1}$はそのインバース（逆）である。

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2: 自然言語記述

任意の$d$-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）$V$、任意のベーシス（基底）$\{b_1,...,b_d\}\subseteq V$、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）${\mathbb{R}}^d$、以下を満たすマップ（写像）$f:V\to {\mathbb{R}}^d$, $v\mapsto (v^1,...,v^d)$、つまり、$v=v^j{b}_j$、チャート$(V,f)$に対して、$(V,f)$にコンパチブル（互換）なマキシマル（最大）$C^{\mathrm{\infty }}$アトラス

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3: 注

$V$で$O$を持ったものは、明らかにハウスドルフ、セカンドカウンタブル（可算）、ローカルにトポロジカルユークリディアントポロジカルスペース（空間）であるから、$V$で$O$および$A$を持ったものは$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）である。

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参考資料

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