アファインマップ（写像）たちのコンポジション（合成）はアファインマップ（写像）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）からのアファインマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）からのアファインマップ（写像）を知っている。
- 読者は、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）からの任意のアファインマップ（写像）はリニア（線形）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）任意のアファインまたはコンベックスセット（集合）たちからの任意のアファインマップ（写像）たちのコンポジション（合成）はアファインマップ（写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_3\): \(\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(S_1\): \(\in \{V_1\text{ 上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）かもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）全てのアファインまたはコンベックスセット（集合）たち }\}\), \(\subseteq V_1\)
\(S_2\): \(\in \{V_2\text{ 上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）かもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）全てのアファインまたはコンベックスセット（集合）たち }\}\), \(\subseteq V_2\)
\(f_1\): \(S_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのアファインマップ（写像）たち }\}\)で、\(f_1 (S_1) \subseteq S_2\)を満たすもの
\(f_2\): \(S_2 \to V_3\), \(\in \{\text{ 全てのアファインマップ（写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f_2 \circ f_1: S_1 \to V_3 \in \{\text{ 全てのアファインマップ（写像）たち }\}\)。
//
2: 自然言語記述
任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち\(V_1, V_2, V_3\)、\(V_1\)上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）\(S_1 \subseteq V_1\)、\(V_2\)上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）\(S_2 \subseteq V_2\)、以下を満たす任意のアファインマップ（写像）\(f_1: S_1 \to V_2\)、つまり、\(f_1 (S_1) \subseteq S_2\)、任意のアファインマップ（写像）\(f_2: S_2 \to V_3\)に対して、\(f_2 \circ f_1: S_1 \to V_3\)はアファインマップ（写像）である。
3: 証明
\(b'_0, b'_1, ..., b'_k \in V_1\)を、\(V_1\)上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）で、それでもって\(f_1\)が定義されているものであるとしよう。
\(\sum_{j = 0 \sim k} t'^j b'_j \in S_1\)を任意のポイントであるとしよう。\(f_2 \circ f_1\)は、\(\sum_{j = 0 \sim k} t'^j b'_j \mapsto f_1 (\sum_{j = 0 \sim k} t'^j b'_j) = \sum_{j = 0 \sim k} t'^j f_1 (b'_j) \mapsto f_2 (\sum_{j = 0 \sim k} t'^j f_1 (b'_j)) = \sum_{j = 0 \sim k} t'^j f_2 \circ f_1 (b'_j)\)、なぜなら、\(f_2\)はリニア（線形）である、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）からの任意のアファインマップ（写像）はリニア（線形）であるという命題によって。それは、\(f_2 \circ f_1\)がアファインマップ（写像）であることを正に示している、アファインマップ（写像）の定義にしたがって。
4: 注
\(S_1\)または\(S_2\)がコンベックス（アファイン）セット（集合）である時も、それからの任意のアファインマップ（写像）は当該ベースポイントたちのセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）からのあるアファインマップ（写像）のドメイン（定義域）リストリクション（制限）として定義されているので、上記ロジックは何らの修正もなく成立する: \(\sum_{j = 0 \sim k} t'^j b'_j\)は条件たち\(0 \le t'^j\)を満たさないが、アファインマップ（写像）はその表現に基づいて定義されている。
