562: アファインマップ（写像）たちのコンポジション（合成）はアファインマップ（写像）である

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アファインマップ（写像）たちのコンポジション（合成）はアファインマップ（写像）であることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）からのアファインマップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）からのアファインマップ（写像）を知っている。
• 読者は、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）からの任意のアファインマップ（写像）はリニア（線形）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）任意のアファインまたはコンベックスセット（集合）たちからの任意のアファインマップ（写像）たちのコンポジション（合成）はアファインマップ（写像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V_1$: $\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$V_2$: $\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$V_3$: $\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$S_1$: $\in \{V_1\text{ 上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）かもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）全てのアファインまたはコンベックスセット（集合）たち }\}$, $\subseteq V_1$
$S_2$: $\in \{V_2\text{ 上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）かもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）全てのアファインまたはコンベックスセット（集合）たち }\}$, $\subseteq V_2$
$f_1$: $S_1\to V_2$, $\in \{\text{ 全てのアファインマップ（写像）たち }\}$で、$f_1(S_1)\subseteq S_2$を満たすもの
$f_2$: $S_2\to V_3$, $\in \{\text{ 全てのアファインマップ（写像）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$f_2\circ f_1:S_1\to V_3\in \{\text{ 全てのアファインマップ（写像）たち }\}$。
//

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2: 自然言語記述

任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち$V_1,V_2,V_3$、$V_1$上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）$S_1\subseteq V_1$、$V_2$上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）$S_2\subseteq V_2$、以下を満たす任意のアファインマップ（写像）$f_1:S_1\to V_2$、つまり、$f_1(S_1)\subseteq S_2$、任意のアファインマップ（写像）$f_2:S_2\to V_3$に対して、$f_2\circ f_1:S_1\to V_3$はアファインマップ（写像）である。

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3: 証明

$b_0^{\prime },b_1^{\prime },...,b_k^{\prime }\in V_1$を、$V_1$上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）で、それでもって$f_1$が定義されているものであるとしよう。

$\sum _{j=0\sim k}{t}^{\prime j}{b}_j^{\prime }\in S_1$を任意のポイントであるとしよう。$f_2\circ f_1$は、$\sum _{j=0\sim k}{t}^{\prime j}{b}_j^{\prime }\mapsto f_1(\sum _{j=0\sim k}{t}^{\prime j}{b}_j^{\prime })=\sum _{j=0\sim k}{t}^{\prime j}{f}_1(b_j^{\prime })\mapsto f_2(\sum _{j=0\sim k}{t}^{\prime j}{f}_1(b_j^{\prime }))=\sum _{j=0\sim k}{t}^{\prime j}{f}_2\circ f_1(b_j^{\prime })$、なぜなら、$f_2$はリニア（線形）である、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）からの任意のアファインマップ（写像）はリニア（線形）であるという命題によって。それは、$f_2\circ f_1$がアファインマップ（写像）であることを正に示している、アファインマップ（写像）の定義にしたがって。

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4: 注

$S_1$または$S_2$がコンベックス（アファイン）セット（集合）である時も、それからの任意のアファインマップ（写像）は当該ベースポイントたちのセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）からのあるアファインマップ（写像）のドメイン（定義域）リストリクション（制限）として定義されているので、上記ロジックは何らの修正もなく成立する: $\sum _{j=0\sim k}{t}^{\prime j}{b}_j^{\prime }$は条件たち$0\le t^{\prime j}$を満たさないが、アファインマップ（写像）はその表現に基づいて定義されている。

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参考資料

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