リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）はコンベックスであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）はコンベックスであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\)
\(\{p_0, ..., p_n\}\): \(\subseteq V\), \(\in \{V\text{ 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）たち }\}\)
\(S\): \(= \{\sum_{j = 0 \sim n} t^j p_j \in V \vert t^j \in \mathbb{R}, \sum_{j = 0 \sim n} t^j = 1 \land 0 \le t^j\}\)
//
\(S \in \{\text{ 全てのコンベックスセット（集合）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）\(V\)、ベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれない任意のセット（集合）\(\{p_0, ..., p_n\} \subseteq V\)に対して、当該ベースポイントたちのセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）\(S := \{\sum_{j = 0 \sim n} t^j p_j \in V \vert t^j \in \mathbb{R}, \sum_{j = 0 \sim n} t^j = 1 \land 0 \le t^j\}\)はコンベックスである。
3: 証明
\(\sum_{j = 0 \sim n} t^j_1 p_j, \sum_{j = 0 \sim n} t^j_2 p_j \in S\)は任意のポイントたちであるとしよう。Sがコンベックスであるということは、\(\sum_{j = 0 \sim n} t^j_1 p_j + t (\sum_{j = 0 \sim n} t^j_2 p_j - \sum_{j = 0 \sim n} t^j_1 p_j)\)は\(0 \le t \le 1\)である時はいつも\(S\)上にあるということである。
\(\sum_{j = 0 \sim n} t^j_1 p_j + t (\sum_{j = 0 \sim n} t^j_2 p_j - \sum_{j = 0 \sim n} t^j_1 p_j) = \sum_{j = 0 \sim n} (t^j_1 (1 - t) + t t^j_2) p_j\)。\(\sum_{j = 0 \sim n} (t^j_1 (1 - t) + t t^j_2) = \sum_{j = 0 \sim n} (t^j_1 (1 - t)) + \sum_{j = 0 \sim n} (t t^j_2) = (1 - t) \sum_{j = 0 \sim n} t^j_1 + t \sum_{j = 0 \sim n} t^j_2 = 1 - t + t = 1\). \(0 \le t^j_1 (1 - t) + t t^j_2\)、なぜなら、\(0 \le t^j_1, 1 - t, t, t^j_2\)。
したがって、\(\sum_{j = 0 \sim n} t^j_1 p_j + t (\sum_{j = 0 \sim n} t^j_2 p_j - \sum_{j = 0 \sim n} t^j_1 p_j) \in S\)である、\(0 \le t \le 1\)である時はいつも。
