2024年4月14日日曜日

543: リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）はコンベックスである

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リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）はコンベックスであることの記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）はコンベックスであるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
V: ∈ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち 
{p0,...,pn}: ⊆V, ∈{V 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）たち }
S: ={∑j=0∼ntjpj∈V|tj∈R,∑j=0∼ntj=1∧0≤tj}
//

S∈{ 全てのコンベックスセット（集合）たち }
//

2: 自然言語記述


任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）V、ベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれない任意のセット（集合）{p0,...,pn}⊆Vに対して、当該ベースポイントたちのセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）S:={∑j=0∼ntjpj∈V|tj∈R,∑j=0∼ntj=1∧0≤tj}はコンベックスである。

3: 証明


∑j=0∼nt1jpj,∑j=0∼nt2jpj∈Sは任意のポイントたちであるとしよう。Sがコンベックスであるということは、∑j=0∼nt1jpj+t(∑j=0∼nt2jpj−∑j=0∼nt1jpj)は0≤t≤1である時はいつもS上にあるということである。

∑j=0∼nt1jpj+t(∑j=0∼nt2jpj−∑j=0∼nt1jpj)=∑j=0∼n(t1j(1−t)+tt2j)pj。∑j=0∼n(t1j(1−t)+tt2j)=∑j=0∼n(t1j(1−t))+∑j=0∼n(tt2j)=(1−t)∑j=0∼nt1j+t∑j=0∼nt2j=1−t+t=1. 0≤t1j(1−t)+tt2j、なぜなら、0≤t1j,1−t,t,t2j。

したがって、∑j=0∼nt1jpj+t(∑j=0∼nt2jpj−∑j=0∼nt1jpj)∈Sである、0≤t≤1である時はいつも。

参考資料
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