529: コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）のドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である

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コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）のドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）の定義を知っている。
• 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）に対して、任意の集合たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）はそれら集合たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）のドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T_1$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$T_2$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$f$: $:T_1\to T_2$, $\in \{\text{ 全てのコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）たち }\}$
$S_1$: $\subseteq T_1$
$S_2$: $\subseteq T_2$, $f(S_1)\subseteq S_2$
$f^{\prime }$: $:S_1\to S_2,p\mapsto f(p)$
//

ステートメント（言明）たち:
$f^{\prime }\in \{\text{ 全てのコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2$、任意のコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）$f:T_1\to T_2$、任意のサブセット（部分集合）$S_1\subseteq T_1$、以下を満たす任意のサブセット（部分集合）$S_2\subseteq T_2$、つまり、$f(S_1)\subseteq S_2$、に対して、$f^{\prime }:S_1\to S_2,p\mapsto f(p)$はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である。

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3: 証明

$f^{\prime }$はインジェクティブ（単射）である、なぜなら、$f$はそうである。

$f^{\prime }$はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。

$f^{\prime }$のコドメイン（余域）リストリクション（制限）を$f^{″}:S_1\to f^{\prime }(S_1)$と表記しよう。

$f^{″}$はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。

$f^{″}$バイジェクティブ（全単射）であるから、インバース（逆）$f^{″-1}:f^{\prime }(S_1)\to S_1$がある。$f^{″-1}$はコンティニュアス（連続）であるか？

任意のオープンサブセット（開部分集合）$U\subseteq S_1$に対して、${f^{″-1}}^{-1}(U)=f^{″}(U)$は$f^{\prime }(S_1)$上でオープン（開）であるか？

あるオープンサブセット（開部分集合）$U^{\prime }\subseteq T_1$に対して、$U=U^{\prime }\cap S_1$。$f^{″}(U)=f^{″}(U^{\prime }\cap S_1)=f^{″}(U^{\prime })\cap f^{″}(S_1)$、任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）に対して、任意の集合たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）はそれら集合たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題によって、$=f(U^{\prime })\cap f^{″}(S_1)=U^{″}\cap f(T_1)\cap f^{″}(S_1)$、ここで、$U^{″}\subseteq T_2$はオープンサブセット（開部分集合）である、なぜなら、$f:T_1\to f(T_1)$はホメオモーフィズム（位相同形写像）である（したがって、$f(U^{\prime })$は$f(T_1)$上でオープン（開）である)、$=U^{″}\cap f^{″}(S_1)$、それは、$f^{″}(S_1)=f^{\prime }(S_1)$上でオープン（開）である。

したがって、はい、$f^{″-1}$はコンティニュアス（連続）である、そして、$f^{″}$はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。

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参考資料

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