コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）のドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）のドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）たち }\}\)
\(S_1\): \(\subseteq T_1\)
\(S_2\): \(\subseteq T_2\), \(f (S_1) \subseteq S_2\)
\(f'\): \(: S_1 \to S_2, p \mapsto f (p)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f' \in \{\text{ 全てのコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2\)、任意のコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）\(f: T_1 \to T_2\)、任意のサブセット（部分集合）\(S_1 \subseteq T_1\)、以下を満たす任意のサブセット（部分集合）\(S_2 \subseteq T_2\)、つまり、\(f (S_1) \subseteq S_2\)、に対して、\(f': S_1 \to S_2, p \mapsto f (p)\)はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である。
3: 証明
\(f'\)はインジェクティブ（単射）である、なぜなら、\(f\)はそうである。
\(f'\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
\(f'\)のコドメイン（余域）リストリクション（制限）を\(f'' : S_1 \to f' (S_1)\)と表記しよう。
\(f''\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
\(f''\)バイジェクティブ（全単射）であるから、インバース（逆）\(f''^{-1}: f' (S_1) \to S_1\)がある。\(f''^{-1}\)はコンティニュアス（連続）であるか？
任意のオープンサブセット（開部分集合）\(U \subseteq S_1\)に対して、\({f''^{-1}}^{-1} (U) = f'' (U)\)は\(f' (S_1)\)上でオープン（開）であるか？
あるオープンサブセット（開部分集合）\(U' \subseteq T_1\)に対して、\(U = U' \cap S_1\)。\(f'' (U) = f'' (U' \cap S_1) = f'' (U') \cap f'' (S_1)\)、任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）に対して、任意の集合たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）はそれら集合たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題によって、\(= f (U') \cap f'' (S_1) = U'' \cap f (T_1) \cap f'' (S_1)\)、ここで、\(U'' \subseteq T_2\)はオープンサブセット（開部分集合）である、なぜなら、\(f: T_1 \to f (T_1)\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である（したがって、\(f (U')\)は\(f (T_1)\)上でオープン（開）である)、\(= U'' \cap f'' (S_1)\)、それは、\(f'' (S_1) = f' (S_1)\)上でオープン（開）である。
したがって、はい、\(f''^{-1}\)はコンティニュアス（連続）である、そして、\(f''\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
