ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のシンプリシャルコンプレックスに対して、アンダーライイング（下にある）スペース（空間）のオープンサブセット（開部分集合）でスターと交わるものはスターに含まれたマキシマル（極大）シンプレックスのシンプレックスインテリア（内部）と交わることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、シンプリシャルコンプレックスの定義を知っている。
- 読者は、アファインシンプレックス（単体）のシンプレックスインテリア（内部）の定義を知っている。
- 読者は、シンプリシャルコンプレックス内のマキシマル（極大）シンプレックス（単体）の定義を知っている。
- 読者は、シンプリシャルコンプレックス内のバーテックス（頂点）のスターの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）\(C^\infty\)アトラスの定義を知っている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のシンプリシャルコンプレックスに対して、当該コンプレックス内の各シンプレックス（単体）はマキシマル（極大）シンプレックス（単体）たちセット（集合）のあるサブセット（部分集合）の要素たちのフェイスたちであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のシンプリシャルコンプレックスに対して、アンダーライイング（下にある）スペース（空間）の任意のオープンサブセット（開部分集合）で任意のスターと交わるものは当該スターに関係するあるマキシマル（極大）シンプレックスのシンプレックスインテリア（内部）と交わるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)でカノニカル（自然な）トポロジーを持つもの
\(C\): \(\in \{\text{ 上の全てのシンプリシャルコンプレックスたち } V\}\)
\(\vert C \vert\): \(= C\text{ のアンダーライイング（下にある）スペース（空間） }\)
\(U\): \(\subseteq \vert C \vert\), \(\in \{\vert C \vert\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)
\(st (p)\): \(= p\text{ のスター }\)、ここで、\(p \in Vert C\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(U \cap st (p) \neq \emptyset\)
\(\implies\)
\(\exists S_k \in \{\text{ 内の全てのマキシマル（極大）シンプレックスたち } C\} (p \in Vert S_k \land S_k^\circ \cap U \neq \emptyset)\)
//
2: 自然言語記述
任意の\(d\)ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）\(V\)、\(V\)上の任意のシンプリシャルコンプレックス\(C\)、アンダーライイング（下にある）スペース（空間）\(\vert C \vert\)、任意のオープンサブセット（開部分集合）\(U \subset \vert C \vert\)、任意のバーテックス（頂点）\(p \in Vert C\)のスター\(st (p)\)に対して、もしも、\(U \cap st (0) \neq \emptyset\)である場合、以下を満たすあるマキシマル（極大）シンプレックス\(S_k \in C\)、つまり、\(p \in Vert S_k\)および\(S_k^\circ \cap U \neq \emptyset\)、がある。
3: 証明
\(st (p)\)は、マキシマル（極大）シンプレックスたちで\(p\)をバーテックス（頂点）として持つもの全てを含んでおり（ポジティブ（正）な数のそうしたマキシマル（極大）シンプレックスたちがある）、\(st (p)\)内に含まれる他のどのシンプレックスもそれらマキシマル（極大）シンプレックスたちの少なくとも1つのプロパー（真）フェイスである、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のシンプリシャルコンプレックスに対して、当該コンプレックス内の各シンプレックス（単体）はマキシマル（極大）シンプレックス（単体）たちセット（集合）のあるサブセット（部分集合）の要素たちのフェイスたちであるという命題によって。
任意の\(p' \in U \cap st (p)\)に対して、\(p'\)は、\(st (p)\)に関係するあるシンプレックス\(S_l \in C\)のシンプレックスインテリア（内部）上にある。\(S_l\)は、\(st (p)\)に関係するあるマキシマル（極大）シンプレックス\(S_k \in C\)の（必ずしもプロパー（真）でない）フェイスである。
したがって、\(p' \in S_k = [p_0 = p, p_1 ..., p_n]\)であり、\(p' = \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j p_j\)である。
もしも、\(S_l\)が\(S_k\)自体であれば、\(p' \in S_k^\circ \cap U \neq \emptyset\)である。
これ以降は、\(S_l\)は\(S_k\)のプロパー（真）フェイスであると仮定しよう。
\(p'\)が\(S_k\)のプロパー（真）フェイス上にあるということが意味するのは、\(t^j\)たちの内のいくつかたちが\(0\)であるということであるが、\(0 \lt t^0\)である、なぜなら、当該フェイスは\([p, p'_1 ..., p'_m]\)、ここで、\(\{p, p'_1, ..., p'_m\} \subseteq \{p, p_1, ..., p_n\}\)（欠けているバーテックス（頂点）たちは\(0\)である\(t^j\)たちに対応する）、であり、もしも、\(t^0 = 0\)である場合、\(p'\)は\([p, p'_1 ..., p'_m]\)のインテリア（内部）上にないことになる。それが意味するのは、\(\sum_{j \in \{1, ..., m\}} t^j \lt 1\)、なぜなら、\(\sum_{j \in \{0, ..., m\}} t^j = 1\)。
\(V\)のあるベーシス（基底）を\(\{p_1 - p, ..., p_n - p, b_{n + 1}, ..., b_{d}\}\)として取り、カノニカル（自然な）チャート\((V, \phi)\), \(\phi: s^1 (p_1 - p) + ... + s^n (p_n - p) + s^{n + 1} b_{n + 1} + ... + s^{d} b_{d} \mapsto (s^1, ..., s^{d})\)を取ろう。
\(p' = t^0 p + \sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j p_j = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j (p_j - p) + t^0 p + \sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j p = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j (p_j - p) + \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j p = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j (p_j - p) + p\)であるから、\(\phi (p') = (t^1 + p^1, ..., t^n + p^n, p^{n + 1}, ..., p^{d})\)、ここで、\(\phi (p) = (p^1, ..., p^{d})\)。
\(U\)は\(\vert C \vert\)上でオープン（開）であるから、\(p'\)の周りに以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{p', \epsilon} \subseteq \vert C \vert\)、つまり、\(B_{p', \epsilon} \subseteq U\)、がある。任意のポイント\(p'' \in B_{p', \epsilon}\)に対して、\(\phi (p'') = (t^1 + \delta^1 + p^1, ..., t^n + \delta^n + p^n, p^{n + 1} + \delta^{n + 1}, ..., p^{d} + \delta^{d})\)。
\(t^j\)たちの内のいくつかたちは\(0\)であるところ、対応する\(\delta^j\)たちは十分小さいポジティブ（正）に取り、その他の\(\delta^j\)たちは\(0\)に取り、\(t^1 + \delta^1 + ... + t^n + \delta^n \lt 1\)および\(\sqrt{\sum_{j \in \{1, ..., d\}} \delta_j^2} \lt \epsilon\)とすることができる。すると、\(p'' = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} (t^j + \delta^j + p^j) (p_j - p) + \sum_{j \in \{n + 1, ..., d\}} p^{j} b_j = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} (t^j + \delta^j) (p_j - p) + \sum_{j \in \{1, ..., n\}} p^j (p_j - p) + \sum_{j \in \{n + 1, ..., d\}} p^{j} b_j = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} (t^j + \delta^j) (p_j - p) + p = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} (t^j + \delta^j) (p_j - p) + \sum_{j \in \{0, ..., n\}} (t^j + \delta^j) p\)、ここで、\(\delta^0\)は\(\sum_{j \in \{0, ..., n\}} (t^j + \delta^j) = 1\)であるように定義された、\( = (t^0 + \delta^0) p + \sum_{j \in \{1, ..., n\}} (t^j + \delta^j) p_j\)。\(\sum_{j \in \{0, ..., n\}} (t^j + \delta^j) = 1\)および\(0 \lt t^j + \delta^j\)。それが意味するのは、\(p'' \in S_k^\circ\)。
したがって、\(\emptyset \neq (B_{p', \epsilon} \cap S_k^\circ) \subseteq (U \cap S_k^\circ)\)。
