584: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のシンプリシャルコンプレックスに対して、アンダーライイング（下にある）スペース（空間）のオープンサブセット（開部分集合）でスターと交わるものはスターに含まれたマキシマル（極大）シンプレックスのシンプレックスインテリア（内部）と交わる

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ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のシンプリシャルコンプレックスに対して、アンダーライイング（下にある）スペース（空間）のオープンサブセット（開部分集合）でスターと交わるものはスターに含まれたマキシマル（極大）シンプレックスのシンプレックスインテリア（内部）と交わることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、シンプリシャルコンプレックスの定義を知っている。
• 読者は、アファインシンプレックス（単体）のシンプレックスインテリア（内部）の定義を知っている。
• 読者は、シンプリシャルコンプレックス内のマキシマル（極大）シンプレックス（単体）の定義を知っている。
• 読者は、シンプリシャルコンプレックス内のバーテックス（頂点）のスターの定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
• 読者は、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）$C^{\mathrm{\infty }}$アトラスの定義を知っている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のシンプリシャルコンプレックスに対して、当該コンプレックス内の各シンプレックス（単体）はマキシマル（極大）シンプレックス（単体）たちセット（集合）のあるサブセット（部分集合）の要素たちのフェイスたちであるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のシンプリシャルコンプレックスに対して、アンダーライイング（下にある）スペース（空間）の任意のオープンサブセット（開部分集合）で任意のスターと交わるものは当該スターに関係するあるマキシマル（極大）シンプレックスのシンプレックスインテリア（内部）と交わるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$でカノニカル（自然な）トポロジーを持つもの
$C$: $\in \{\text{ 上の全てのシンプリシャルコンプレックスたち }V\}$
$|C|$: $=C\text{ のアンダーライイング（下にある）スペース（空間） }$
$U$: $\subseteq |C|$, $\in \{|C|\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}$
$st(p)$: $=p\text{ のスター }$、ここで、$p\in VertC$
//

ステートメント（言明）たち:
$U\cap st(p)\ne \mathrm{\varnothing }$
$⟹$
$\mathrm{\exists }{S}_k\in \{\text{ 内の全てのマキシマル（極大）シンプレックスたち }C\}(p\in Vert{S}_k\wedge S_k^{\circ }\cap U\ne \mathrm{\varnothing })$
//

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2: 自然言語記述

任意の$d$ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）$V$、$V$上の任意のシンプリシャルコンプレックス$C$、アンダーライイング（下にある）スペース（空間）$|C|$、任意のオープンサブセット（開部分集合）$U\subset |C|$、任意のバーテックス（頂点）$p\in VertC$のスター$st(p)$に対して、もしも、$U\cap st(0)\ne \mathrm{\varnothing }$である場合、以下を満たすあるマキシマル（極大）シンプレックス$S_k\in C$、つまり、$p\in Vert{S}_k$および$S_k^{\circ }\cap U\ne \mathrm{\varnothing }$、がある。

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3: 証明

$st(p)$は、マキシマル（極大）シンプレックスたちで$p$をバーテックス（頂点）として持つもの全てを含んでおり（ポジティブ（正）な数のそうしたマキシマル（極大）シンプレックスたちがある）、$st(p)$内に含まれる他のどのシンプレックスもそれらマキシマル（極大）シンプレックスたちの少なくとも1つのプロパー（真）フェイスである、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のシンプリシャルコンプレックスに対して、当該コンプレックス内の各シンプレックス（単体）はマキシマル（極大）シンプレックス（単体）たちセット（集合）のあるサブセット（部分集合）の要素たちのフェイスたちであるという命題によって。

任意の$p^{\prime }\in U\cap st(p)$に対して、$p^{\prime }$は、$st(p)$に関係するあるシンプレックス$S_l\in C$のシンプレックスインテリア（内部）上にある。$S_l$は、$st(p)$に関係するあるマキシマル（極大）シンプレックス$S_k\in C$の（必ずしもプロパー（真）でない）フェイスである。

したがって、$p^{\prime }\in S_k=[p_0=p,p_1...,p_n]$であり、$p^{\prime }=\sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^j{p}_j$である。

もしも、$S_l$が$S_k$自体であれば、$p^{\prime }\in S_k^{\circ }\cap U\ne \mathrm{\varnothing }$である。

これ以降は、$S_l$は$S_k$のプロパー（真）フェイスであると仮定しよう。

$p^{\prime }$が$S_k$のプロパー（真）フェイス上にあるということが意味するのは、$t^j$たちの内のいくつかたちが$0$であるということであるが、$0<t^0$である、なぜなら、当該フェイスは$[p,p_1^{\prime }...,p_m^{\prime }]$、ここで、$\{p,p_1^{\prime },...,p_m^{\prime }\}\subseteq \{p,p_1,...,p_n\}$（欠けているバーテックス（頂点）たちは$0$である$t^j$たちに対応する）、であり、もしも、$t^0=0$である場合、$p^{\prime }$は$[p,p_1^{\prime }...,p_m^{\prime }]$のインテリア（内部）上にないことになる。それが意味するのは、$\sum _{j\in \{1,...,m\}}{t}^j<1$、なぜなら、$\sum _{j\in \{0,...,m\}}{t}^j=1$。

$V$のあるベーシス（基底）を$\{p_1-p,...,p_n-p,b_{n+1},...,b_d\}$として取り、カノニカル（自然な）チャート$(V,\varphi )$, $\varphi :s^1(p_1-p)+...+s^n(p_n-p)+s^{n+1}{b}_{n+1}+...+s^d{b}_d\mapsto (s^1,...,s^d)$を取ろう。

$p^{\prime }=t^{0}p+\sum _{j\in \{1,...,n\}}{t}^j{p}_j=\sum _{j\in \{1,...,n\}}{t}^j(p_j-p)+t^{0}p+\sum _{j\in \{1,...,n\}}{t}^{j}p=\sum _{j\in \{1,...,n\}}{t}^j(p_j-p)+\sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^{j}p=\sum _{j\in \{1,...,n\}}{t}^j(p_j-p)+p$であるから、$\varphi (p^{\prime })=(t^1+p^1,...,t^n+p^n,p^{n+1},...,p^d)$、ここで、$\varphi (p)=(p^1,...,p^d)$。

$U$は$|C|$上でオープン（開）であるから、$p^{\prime }$の周りに以下を満たすあるオープンボール（開球）$B_{p^{\prime },ϵ}\subseteq |C|$、つまり、$B_{p^{\prime },ϵ}\subseteq U$、がある。任意のポイント$p^{″}\in B_{p^{\prime },ϵ}$に対して、$\varphi (p^{″})=(t^1+{\delta }^1+p^1,...,t^n+{\delta }^n+p^n,p^{n+1}+{\delta }^{n+1},...,p^d+{\delta }^d)$。

$t^j$たちの内のいくつかたちは$0$であるところ、対応する${\delta }^j$たちは十分小さいポジティブ（正）に取り、その他の${\delta }^j$たちは$0$に取り、$t^1+{\delta }^1+...+t^n+{\delta }^n<1$および$\sqrt{\sum _{j\in \{1,...,d\}}{\delta }_j^2}<ϵ$とすることができる。すると、$p^{″}=\sum _{j\in \{1,...,n\}}(t^j+{\delta }^j+p^j)(p_j-p)+\sum _{j\in \{n+1,...,d\}}{p}^j{b}_j=\sum _{j\in \{1,...,n\}}(t^j+{\delta }^j)(p_j-p)+\sum _{j\in \{1,...,n\}}{p}^j(p_j-p)+\sum _{j\in \{n+1,...,d\}}{p}^j{b}_j=\sum _{j\in \{1,...,n\}}(t^j+{\delta }^j)(p_j-p)+p=\sum _{j\in \{1,...,n\}}(t^j+{\delta }^j)(p_j-p)+\sum _{j\in \{0,...,n\}}(t^j+{\delta }^j)p$、ここで、${\delta }^0$は$\sum _{j\in \{0,...,n\}}(t^j+{\delta }^j)=1$であるように定義された、$=(t^0+{\delta }^0)p+\sum _{j\in \{1,...,n\}}(t^j+{\delta }^j)p_j$。$\sum _{j\in \{0,...,n\}}(t^j+{\delta }^j)=1$および$0<t^j+{\delta }^j$。それが意味するのは、$p^{″}\in S_k^{\circ }$。

したがって、$\mathrm{\varnothing }\ne (B_{p^{\prime },ϵ}\cap S_k^{\circ })\subseteq (U\cap S_k^{\circ })$。

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参考資料

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