596: グループ（群）のサブグループ（部分群）の、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるマルチプリケーション（乗法）を取ったものはグループ（群）のサブグループ（部分群）である|T.B.P.日本語版

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グループ（群）のサブグループ（部分群）の、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるマルチプリケーション（乗法）を取ったものはグループ（群）のサブグループ（部分群）であることの記述/証明

話題

About: グループ

この記事の目次

開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
オリエンテーション
本体
1: 構造化された記述
2: 自然言語記述
3: 証明

開始コンテキスト

読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）の定義を知っている。

ターゲットコンテキスト

読者は、任意のグループに対して、当該グループ（群）の任意のサブグループ（部分群）の、当該グループ（群）の任意のノーマルサブグループ（正規部分群）によるマルチプリケーション（乗法）を取ったものは当該グループ（群）のサブグループ（部分群）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:

G

\in {全てのグループたち}

G_{1}

\in {G の全てのサブグループたち}

G_{2}

\in {G の全てのノーマルサブグループたち}

//

ステートメント（言明）たち:

G_{1} G_{2} \in {G の全てのサブグループたち}

\land

G_{2} G_{1} \in {G の全てのサブグループたち}

2: 自然言語記述

任意のグループ

G

、

G

の任意のサブグループ

G_{1}

、

G

の任意のノーマルサブグループ

G_{2}

に対して、

G_{1} G_{2}

は

G

のサブグループであり、

G_{2} G_{1}

は

G

のサブグループである。

3: 証明

第1に、

G_{1} G_{2}

のことを考えよう。

アイデンティティ（単位）要素に対しては、

1 \in G

、

1 \in G_{1}

および

1 \in G_{2}

、したがって、

1 \in G_{1} G_{2}

。

任意の

p_{1}, p_{1}^{'} \in G_{1}

および任意の

p_{2}, p_{2}^{'} \in G_{2}

に対して、

p_{1} p_{2} p_{1}^{'} p_{2}^{'} = p_{1} p_{1}^{'} p_{2}^{″} {p_{1}^{'}}^{- 1} p_{1}^{'} p_{2}^{'}

、ここで、

p_{2}^{″} \in G_{2}

、なぜなら、

p_{1}^{'} G_{2} {p_{1}^{'}}^{- 1} = G_{2}

であるから、そういうある

p_{2}^{″}

がある;

= p_{1} p_{1}^{'} p_{2}^{″} p_{2}^{'} \in G_{1} G_{2}

。

任意の

p_{1} \in G_{1}

および任意の

p_{2} \in G_{2}

に対して、

(p_{1} p_{2})^{- 1} = {p_{2}}^{- 1} {p_{1}}^{- 1} = {p_{1}}^{- 1} p_{2}^{'} p_{1} {p_{1}}^{- 1}

、ここで、

p_{2}^{'} \in G_{2}

、なぜなら、

{p_{1}}^{- 1} G_{2} p_{1} = G_{2}

であるから、そうしたある

p_{2}^{'}

がある;

= {p_{1}}^{- 1} p_{2}^{'} \in G_{1} G_{2}

。

マルチプリケーションたちのアソシアティビティ（結合性）は成立する、なぜなら、それは、周囲

G

の中で成立する。

G_{2} G_{1}

のことを考えよう。

アイデンティティ（単位）要素に対しては、

1 \in G

、

1 \in G_{1}

および

1 \in G_{2}

、したがって、

1 \in G_{2} G_{1}

。

任意の

p_{1}, p_{1}^{'} \in G_{1}

および任意の

p_{2}, p_{2}^{'} \in G_{2}

に対して、

p_{2} p_{1} p_{2}^{'} p_{1}^{'} = p_{2} p_{1} {p_{1}}^{- 1} p_{2}^{″} p_{1} p_{1}^{'}

、ここで、

p_{2}^{″} \in G_{2}

、なぜなら、

{p_{1}}^{- 1} G_{2} p_{1} = G_{2}

であるから、そうしたある

p_{2}^{″}

がある;

= p_{2} p_{2}^{″} p_{1} p_{1}^{'} \in G_{2} G_{1}

。

任意の

p_{1} \in G_{1}

および任意の

p_{2} \in G_{2}

に対して、

(p_{2} p_{1})^{- 1} = {p_{1}}^{- 1} {p_{2}}^{- 1} = {p_{1}}^{- 1} p_{1} p_{2}^{'} {p_{1}}^{- 1}

、ここで、

p_{2}^{'} \in G_{2}

、なぜなら、

p_{1} G_{2} {p_{1}}^{- 1} = G_{2}

であるから、そうしたある

p_{2}^{'}

がある;

= p_{2}^{'} {p_{1}}^{- 1} \in G_{2} G_{1}

。

マルチプリケーションたちのアソシアティビティ（結合性）は成立する、なぜなら、それは、周囲

G

の中で成立する。

参考資料

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定義たちと命題たち
学校数学をより高い視点から
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情報テーブル群
LibreOfficeまたはOpenOfficeを活用する
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2024年5月26日日曜日