ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のシンプリシャルコンプレックスに対して、コンプレックス内の各シンプレックス（単体）はマキシマル（極大）シンプレックス（単体）たちセット（集合）のサブセット（部分集合）の要素たちのフェイスたちであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、シンプリシャルコンプレックスの定義を知っている。
- 読者は、シンプリシャルコンプレックス内のマキシマル（極大）シンプレックス（単体）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のシンプリシャルコンプレックスに対して、当該コンプレックス内の各シンプレックス（単体）はマキシマル（極大）シンプレックス（単体）たちセット（集合）のあるサブセット（部分集合）の要素たちのフェイスたちであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \text{ 全ての } d\{\text{ ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(C\): \(\in \{V\text{ 上の全てのシンプリシャルコンプレックスたち }\}\)
\(S\): \(= \{S_j \in C \vert S_j \in \{C\text{ 内の全てのマキシマル（極大）シンプレックス（単体）たち }\}\}\), \(\subseteq C\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall S_k \in C (\exists S' \subseteq S (S' \neq \emptyset \land \forall S_j \in S' (S_k \in \{S_j\text{ の全てのフェイスたち }\}) \land \forall S_j \in S \setminus S' (S_k \notin \{S_j\text{ の全てのフェイスたち }\})))\)
//
2: 自然言語記述
任意の\(d\)ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）\(V\)、\(V\)上の任意のシンプリシャルコンプレックス\(C\)、\(C\)内の全てのマキシマル（極大）シンプレックス（単体）たちのセット（集合）\(S\)に対して、各シンプレックス（単体）\(S_k \in C\)に対して、以下を満たすある空でないサブセット（部分集合）\(S' \subseteq S\)、つまり、\(\forall S_j \in S' (S_k \in \{S_j\text{ の全てのフェイスたち }\})\)および\(\forall S_j \in S \setminus S' (S_k \notin \{S_j\text{ の全てのフェイスたち }\})\)、がある。
3: 証明
\(C\)内の各シンプレックス（単体）は決定的にマキシマル（極大）シンプレックス（単体）であるかマキシマル（極大）シンプレックス（単体）でないかのいずれかである。したがって、\(S\)はウェルデファインド（妥当に定義されている）である。
各シンプレックス（単体）\(S_1 \in C\)は少なくとも1つのマキシマル（極大）シンプレックス（単体）のフェイスである、なぜなら、もしも、\(S_1\)がマキシマル（極大）シンプレックス（単体）であれば、\(S_1\)はマキシマル（極大）\(S_1\)のフェイスである; もしも、\(S_1\)がマキシマル（極大）シンプレックス（単体）でなければ、\(S_1\)は別のシンプレックス（単体）\(S_2 \in C\)のプロパー（真）フェイスである; もしも、\(S_2\)がマキシマル（極大）シンプレックス（単体）であれば、\(S_1\)はマキシマル（極大）\(S_2\)のフェイスである; 等々と続く; \(S_1, S_2, ...\) は全て異なっている、なぜなら、\(S_1 \subset S_2 \subset ...\); 注意として、\(S_{j + 1}\)は\(S_j\)よりも多くのバーテックス（頂点）たちを持っている; \(V\)は\(d\)ディメンショナル（次元）であるから、任意のシンプレックス（単体）は最大\(d + 1\)バーテックス（頂点）たちしか持つことができず、このプロセスはある\(S_n\)で止まらなければならず、ここで、\(S_n\)はマキシマル（極大）シンプレックス（単体）である; したがって、\(S_1\)はマキシマル（極大）\(S_n\)のフェイスである。
\(S_1\)は\(S\)の少なくとも1要素のフェイスであるが、\(S_1\)は\(S\)のいくつか他の要素たちのフェイスたちであることもあり得る。\(S\)の各要素に対して、\(S_1\)は決定的にフェイスであるかないかのいずれかである、したがって、\(S_1\)は、\(S\)の決定的に定まった空でないサブセット（部分集合）の要素たちのフェイスたちである。
