2024年5月5日日曜日

568: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のシンプリシャルコンプレックスに対して、コンプレックス内の各シンプレックス（単体）はマキシマル（極大）シンプレックス（単体）たちセット（集合）のサブセット（部分集合）の要素たちのフェイスたちである

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ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のシンプリシャルコンプレックスに対して、コンプレックス内の各シンプレックス（単体）はマキシマル（極大）シンプレックス（単体）たちセット（集合）のサブセット（部分集合）の要素たちのフェイスたちであることの記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のシンプリシャルコンプレックスに対して、当該コンプレックス内の各シンプレックス（単体）はマキシマル（極大）シンプレックス（単体）たちセット（集合）のあるサブセット（部分集合）の要素たちのフェイスたちであるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
V: ∈ 全ての d{ ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }
C: ∈{V 上の全てのシンプリシャルコンプレックスたち }
S: ={Sj∈C|Sj∈{C 内の全てのマキシマル（極大）シンプレックス（単体）たち }}, ⊆C
//

ステートメント（言明）たち:
∀Sk∈C(∃S′⊆S(S′≠∅∧∀Sj∈S′(Sk∈{Sj の全てのフェイスたち })∧∀Sj∈S∖S′(Sk∉{Sj の全てのフェイスたち })))
//

2: 自然言語記述


任意のdディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）V、V上の任意のシンプリシャルコンプレックスC、C内の全てのマキシマル（極大）シンプレックス（単体）たちのセット（集合）Sに対して、各シンプレックス（単体）Sk∈Cに対して、以下を満たすある空でないサブセット（部分集合）S′⊆S、つまり、∀Sj∈S′(Sk∈{Sj の全てのフェイスたち })および∀Sj∈S∖S′(Sk∉{Sj の全てのフェイスたち })、がある。

3: 証明


C内の各シンプレックス（単体）は決定的にマキシマル（極大）シンプレックス（単体）であるかマキシマル（極大）シンプレックス（単体）でないかのいずれかである。したがって、Sはウェルデファインド（妥当に定義されている）である。

各シンプレックス（単体）S1∈Cは少なくとも1つのマキシマル（極大）シンプレックス（単体）のフェイスである、なぜなら、もしも、S1がマキシマル（極大）シンプレックス（単体）であれば、S1はマキシマル（極大）S1のフェイスである; もしも、S1がマキシマル（極大）シンプレックス（単体）でなければ、S1は別のシンプレックス（単体）S2∈Cのプロパー（真）フェイスである; もしも、S2がマキシマル（極大）シンプレックス（単体）であれば、S1はマキシマル（極大）S2のフェイスである; 等々と続く; S1,S2,... は全て異なっている、なぜなら、S1⊂S2⊂...; 注意として、Sj+1はSjよりも多くのバーテックス（頂点）たちを持っている; Vはdディメンショナル（次元）であるから、任意のシンプレックス（単体）は最大d+1バーテックス（頂点）たちしか持つことができず、このプロセスはあるSnで止まらなければならず、ここで、Snはマキシマル（極大）シンプレックス（単体）である; したがって、S1はマキシマル（極大）Snのフェイスである。

S1はSの少なくとも1要素のフェイスであるが、S1はSのいくつか他の要素たちのフェイスたちであることもあり得る。Sの各要素に対して、S1は決定的にフェイスであるかないかのいずれかである、したがって、S1は、Sの決定的に定まった空でないサブセット（部分集合）の要素たちのフェイスたちである。

参考資料
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