569: アファインシンプレックス（単体）、フェイスたちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）、フェイスたちのバリセンター（重心）たちのセット（集合）に対して、バリセンター（重心）たちのセット（集合）のサブセット（部分集合）のコンベックスコンビネーションは、アファインシンプレックス（単体）のバーテックス（頂点）たちのセット（集合）に関するコンベックスコンビネーションである

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

アファインシンプレックス（単体）、フェイスたちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）、フェイスたちのバリセンター（重心）たちのセット（集合）に対して、バリセンター（重心）たちのセット（集合）のサブセット（部分集合）のコンベックスコンビネーションは、アファインシンプレックス（単体）のバーテックス（頂点）たちのセット（集合）に関するコンベックスコンビネーションであることの記述/証明

---

話題

About: ベクトルたちスペース

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明
• 4: 注

---

開始コンテキスト

• 読者は、アファインシンプレックス（単体）の定義を知っている。
• 読者は、アファインシンプレックス（単体）のフェイスたちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）の定義を知っている。
• 読者は、アファインシンプレックス（単体）のバリセンター（重心）の定義を知っている。
• 読者は、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）のコンベックスコンビネーションの定義を知っている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のアファインシンプレックス（単体）、その任意のフェイスたちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）、当該フェイスたちのバリセンター（重心）たちのセット（集合）に対して、当該バリセンター（重心）たちのセット（集合）の任意のサブセット（部分集合）の任意のコンベックスコンビネーションは、当該アファインシンプレックス（単体）のバーテックス（頂点）たちのセット（集合）に関するコンベックスコンビネーションであるという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

---

本体

---

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペースたち }\}$
$\{p_0,...,p_n\}$: $\subseteq V$, $\in \{V\text{ 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）たち }\}$
$[p_0,...,p_n]$: $=\text{ 当該アファインシンプレックス }$
$S$: $=([p_0^{\prime }],[p_0^{\prime },p_1^{\prime }],...,[p_0^{\prime },...,p_n^{\prime }])$, $\in \{[p_0,...,p_n]\text{ のフェイスたちの全てのアセンディング（昇順）シーケンス（列）たち }\}$
$S^{\prime }$: $=\{bary([p_0^{\prime }]),bary([p_0^{\prime },p_1^{\prime }]),...,bary([p_0^{\prime },...,p_n^{\prime }])\}=\{b_0,...,b_n\}$
$S^{″}$: $=\{b_{k_0},...,b_{k_l}\}$, $\subseteq S^{\prime }$
$p$: $=t^0{b}_{k_0}+...+t^k{b}_{k_l}$、ここで、$\sum _{j\in \{0,...,l\}}{t}^j=1$および$0\le t^j$
//

ステートメント（言明）たち:
$p=t^{\prime 0}{p}_0+...+t^{\prime n}{p}_n$、ここで、$\sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^{\prime j}=1$および$0\le t^{\prime j}$。
//

---

2: 自然言語記述

任意のリアル（実）ベクトルたちスペース$V$、$V$上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）セット（集合）$\{p_0,...,p_n\}$、アファインシンプレックス$[p_0,...,p_n]$、$[p_0,...,p_n]$のフェイスたちの任意のアセンディング（昇順）シーケンス（列）$S=([p_0^{\prime }],[p_0^{\prime },p_1^{\prime }],...,[p_0^{\prime },...,p_n^{\prime }])$、当該フェイスたちのバリセンター（重心）たちのセット（集合）$S^{\prime }=\{bary([p_0^{\prime }]),bary([p_0^{\prime },p_1^{\prime }]),...,bary([p_0^{\prime },...,p_n^{\prime }])\}=\{b_0,...,b_n\}$、$S^{\prime }$の任意のサブセット$S^{″}=\{b_{k_0},...,b_{k_l}\}\subseteq S^{\prime }$, of に対して、$S^{″}$の任意のコンベックスコンビネーション$p=t^0{b}_{k_0}+...+t^k{b}_{k_l}$、ここで、$\sum _{j\in \{0,...,l\}}{t}^j=1$および$0\le t^j$、は、$[p_0,...,p_n]$のバーテックス（頂点）たちのコンベックスコンビネーションである、つまり、$p=t^{\prime 0}{p}_0+...+t^{\prime n}{p}_n$、ここで、$\sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^{\prime j}=1$および$0\le t^{\prime j}$。

---

3: 証明

$b_{k_j}=1/(k_j+1)(p_0^{\prime }+...+p_{k_j}^{\prime })$。

$p=t^{0}1/(k_0+1)(p_0^{\prime }+...+p_{k_0}^{\prime })+...+t^{l}1/(k_l+1)(p_0^{\prime }+...+p_{k_l}^{\prime })=(t^{0}1/(k_0+1)+...+t^{l}1/(k_l+1))p_0^{\prime }+...+t^{l}1/(k_l+1)p_{k_l}^{\prime }$。

$p_{k_j}^{\prime }$の各係数は非負である。

当該係数たちの合計は、$(t^{0}1/(k_0+1)+...+t^{l}1/(k_l+1))+...+t^{l}1/(k_l+1)=(t^{0}1/(k_0+1)+...+t^{l}1/(k_l+1))(k_0+1)+(t^{1}1/(k_1+1)+...+t^{l}1/(k_l+1))(k_1+1-(k_0+1))+...+t^{l}1/(k_l+1)(k_l+1-(k_{l-1}+1))$、ここで、$(k_0+1)$によるマルチプリケーション（積）は$p_0^{\prime },...,p_{k_0}^{\prime }$に対するもの、$k_1+1-(k_0+1)$によるマルチプリケーション（積）は$p_{k_0+1}^{\prime },...,p_{k_1}^{\prime }$に対するもの、等。$=1/(k_0+1)(k_0+1)t^0+(1/(k_1+1)(k_0+1)+1/(k_1+1)(k_1+1-(k_0+1)))t^1+...+(1/(k_l+1)(k_0+1)+1/(k_l+1)(k_1+1-(k_0+1))+...+1/(k_l+1)(k_l+1-(k_{l-1}+1)))t^l=t^0+...+t^l=1$。

注意として、$(p_0^{\prime },...,p_n^{\prime })$は単に$\{p_0,...,p_n\}$のあるシーケンス（列）である。

---

4: 注

本命題、任意のアファインシンプレックス（単体）、そのフェイスたちの任意のアセンディング（昇順）シーケンス（列）に対して、当該フェイスたちのバリセンター（重心）たちのセット（集合）はアファインインディペンデント（独立）であるという命題、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）セット（集合）の任意のサブセット（部分集合）はアファインインディペンデント（独立）であるという命題は、$[b_{k_0},...,b_{k_l}]\subseteq [p_0,...,p_n]$を含意する。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>