アファインシンプレックス（単体）、フェイスたちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）、フェイスたちのバリセンター（重心）たちのセット（集合）に対して、バリセンター（重心）たちのセット（集合）のサブセット（部分集合）のコンベックスコンビネーションは、アファインシンプレックス（単体）のバーテックス（頂点）たちのセット（集合）に関するコンベックスコンビネーションであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、アファインシンプレックス（単体）の定義を知っている。
- 読者は、アファインシンプレックス（単体）のフェイスたちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）の定義を知っている。
- 読者は、アファインシンプレックス（単体）のバリセンター（重心）の定義を知っている。
- 読者は、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）のコンベックスコンビネーションの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のアファインシンプレックス（単体）、その任意のフェイスたちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）、当該フェイスたちのバリセンター（重心）たちのセット（集合）に対して、当該バリセンター（重心）たちのセット（集合）の任意のサブセット（部分集合）の任意のコンベックスコンビネーションは、当該アファインシンプレックス（単体）のバーテックス（頂点）たちのセット（集合）に関するコンベックスコンビネーションであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペースたち }\}\)
\(\{p_0, ..., p_n\}\): \(\subseteq V\), \(\in \{V \text{ 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）たち }\}\)
\([p_0, ..., p_n]\): \(= \text{ 当該アファインシンプレックス }\)
\(S\): \(= ([p'_0], [p'_0, p'_1], ..., [p'_0, ..., p'_n])\), \(\in \{[p_0, ..., p_n] \text{ のフェイスたちの全てのアセンディング（昇順）シーケンス（列）たち }\}\)
\(S'\): \(= \{bary ([p'_0]), bary ([p'_0, p'_1]), ..., bary ([p'_0, ..., p'_n])\} = \{b_0, ..., b_n\}\)
\(S''\): \(= \{b_{k_0}, ..., b_{k_l}\}\), \(\subseteq S'\)
\(p\): \(= t^0 b_{k_0} + ... + t^k b_{k_l}\)、ここで、\(\sum_{j \in \{0, ..., l\}} t^j = 1\)および\(0 \le t^j\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(p = t'^0 p_0 + ... + t'^n p_n\)、ここで、\(\sum_{j \in \{0, ..., n\}} t'^j = 1\)および\(0 \le t'^j\)。
//
2: 自然言語記述
任意のリアル（実）ベクトルたちスペース\(V\)、\(V\)上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）セット（集合）\(\{p_0, ..., p_n\}\)、アファインシンプレックス\([p_0, ..., p_n]\)、\([p_0, ..., p_n]\)のフェイスたちの任意のアセンディング（昇順）シーケンス（列）\(S = ([p'_0], [p'_0, p'_1], ..., [p'_0, ..., p'_n])\)、当該フェイスたちのバリセンター（重心）たちのセット（集合）\(S' = \{bary ([p'_0]), bary ([p'_0, p'_1]), ..., bary ([p'_0, ..., p'_n])\} = \{b_0, ..., b_n\}\)、\(S'\)の任意のサブセット\(S'' = \{b_{k_0}, ..., b_{k_l}\} \subseteq S'\), of に対して、\(S''\)の任意のコンベックスコンビネーション\(p = t^0 b_{k_0} + ... + t^k b_{k_l}\)、ここで、\(\sum_{j \in \{0, ..., l\}} t^j = 1\)および\(0 \le t^j\)、は、\([p_0, ..., p_n]\)のバーテックス（頂点）たちのコンベックスコンビネーションである、つまり、\(p = t'^0 p_0 + ... + t'^n p_n\)、ここで、\(\sum_{j \in \{0, ..., n\}} t'^j = 1\)および\(0 \le t'^j\)。
3: 証明
\(b_{k_j} = 1 / (k_j + 1) (p'_0 + ... + p'_{k_j})\)。
\(p = t^0 1 / (k_0 + 1) (p'_0 + ... + p'_{k_0}) + ... + t^l 1 / (k_l + 1) (p'_0 + ... + p'_{k_l}) = (t^0 1 / (k_0 + 1) + ... + t^l 1 / (k_l + 1)) p'_0 + ... + t^l 1 / (k_l + 1) p'_{k_l}\)。
\(p'_{k_j}\)の各係数は非負である。
当該係数たちの合計は、\((t^0 1 / (k_0 + 1) + ... + t^l 1 / (k_l + 1)) + ... + t^l 1 / (k_l + 1) = (t^0 1 / (k_0 + 1) + ... + t^l 1 / (k_l + 1)) (k_0 + 1) + (t^1 1 / (k_1 + 1) + ... + t^l 1 / (k_l + 1)) (k_1 + 1 - (k_0 + 1)) + ... + t^l 1 / (k_l + 1) (k_l + 1 - (k_{l - 1} + 1))\)、ここで、\((k_0 + 1)\)によるマルチプリケーション（積）は\(p'_0, ..., p'_{k_0}\)に対するもの、\(k_1 + 1 - (k_0 + 1)\)によるマルチプリケーション（積）は\(p'_{k_0 + 1}, ..., p'_{k_1}\)に対するもの、等。\(= 1 / (k_0 + 1) (k_0 + 1) t^0 + (1 / (k_1 + 1) (k_0 + 1) + 1 / (k_1 + 1) (k_1 + 1 - (k_0 + 1))) t^1 + ... + (1 / (k_l + 1) (k_0 + 1) + 1 / (k_l + 1) (k_1 + 1 - (k_0 + 1)) + ... + 1 / (k_l + 1) (k_l + 1 - (k_{l - 1} + 1))) t^l = t^0 + ... + t^l = 1\)。
注意として、\((p'_0, ..., p'_n)\)は単に\(\{p_0, ..., p_n\}\)のあるシーケンス（列）である。
4: 注
本命題、任意のアファインシンプレックス（単体）、そのフェイスたちの任意のアセンディング（昇順）シーケンス（列）に対して、当該フェイスたちのバリセンター（重心）たちのセット（集合）はアファインインディペンデント（独立）であるという命題、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）セット（集合）の任意のサブセット（部分集合）はアファインインディペンデント（独立）であるという命題は、\([b_{k_0}, ..., b_{k_l}] \subseteq [p_0, ..., p_n]\)を含意する。
