2024年5月5日日曜日

567: アファインシンプレックス（単体）、フェイスたちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）に対して、フェイスたちのバリセンター（重心）たちのセット（集合）はアファインインディペンデント（独立）である

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アファインシンプレックス（単体）、フェイスたちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）に対して、フェイスたちのバリセンター（重心）たちのセット（集合）はアファインインディペンデント（独立）であることの記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のアファインシンプレックス（単体）、そのフェイスたちの任意のアセンディング（昇順）シーケンス（列）に対して、当該フェイスたちのバリセンター（重心）たちのセット（集合）はアファインインディペンデント（独立）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
V: ∈{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }
{p0,...,pn}: ⊆V, ∈{V 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）たち }
[p0,...,pn]: = 当該アファインシンプレックス（単体） 
(p0′,...,pn′): ∈ 要素たちが {p0,...,pn} であるシーケンス（列）たち 
S: =([p0′],[p0′,p1′],...,[p0′,...,pn′])
S′: ={bary([p0′]),bary([p0′,p1′]),...,bary([p0′,...,pn′])}
//

ステートメント（言明）たち:
S′∈{V 上のポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）たち }。
//

2: 自然言語記述


任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）V、V上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）セット（集合）{p0,...,pn}、当該アファインシンプレックス（単体）[p0,...,pn]、[p0,...,pn]のフェイスたちの任意のアセンディング（昇順）シーケンス（列）S=([p0′],[p0′,p1′],...,[p0′,...,pn′])に対して、当該フェイスたちのバリセンター（重心）たちのセット（集合）S′={bary([p0′]),bary([p0′,p1′]),...,bary([p0′,...,pn′])}はアファインインディペンデント（独立）である。


3: 証明


bary([p0′,...,pm′])=1/(m+1)(p0′+...+pm′)。特に、bary([p0′])=p0′。

bary([p0′,...,pm′])−bary([p0′])=1/(m+1)(p0′+...+pm′)−p0′=1/(m+1)(p0′+(p1′−p0′)+p0′+...+(pm′−p0′)+p0′)−p0′=1/(m+1)((p1′−p0′)+...+(pm′−p0′)+(m+1)p0′)−p0′=1/(m+1)((p1′−p0′)+...+(pm′−p0′))+p0′−p0′=1/(m+1)((p1′−p0′)+...+(pm′−p0′))。

{bary([p0′,p1′])−bary([p0′]),...,bary([p0′,...,pn′])−bary([p0′])}={1/2((p1′−p0′)),1/3((p1′−p0′)+(p2′−p0′)),..,1/(n+1)((p1′−p0′)+...+(pn′−p0′))}。

{p1′−p0′,p2′−p0′,...,pn′−p0′}はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるから、{1/2((p1′−p0′)),1/3((p1′−p0′)+(p2′−p0′)),...,1/(n+1)((p1′−p0′)+...+(pn′−p0′))}はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、任意のモジュール（加群）の任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なファイナイト（有限）サブセット（部分集合）に対して、あるリニア（線形）コンビネーションたちによる、モジュール（加群）のインデュースト（誘導された）サブセット（部分集合）はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるという命題によって。

参考資料
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