アファインシンプレックス（単体）、フェイスたちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）に対して、フェイスたちのバリセンター（重心）たちのセット（集合）はアファインインディペンデント（独立）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のアファインシンプレックス（単体）、そのフェイスたちの任意のアセンディング（昇順）シーケンス（列）に対して、当該フェイスたちのバリセンター（重心）たちのセット（集合）はアファインインディペンデント（独立）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(\{p_0, ..., p_n\}\): \(\subseteq V\), \(\in \{V\text{ 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）たち }\}\)
\([p_0, ..., p_n]\): \(= \text{ 当該アファインシンプレックス（単体） }\)
\((p'_0, ..., p'_n)\): \(\in \text{ 要素たちが } \{p_0, ..., p_n\} \text{ であるシーケンス（列）たち }\)
\(S\): \(= ([p'_0], [p'_0, p'_1], ..., [p'_0, ..., p'_n])\)
\(S'\): \(= \{bary ([p'_0]), bary ([p'_0, p'_1]), ..., bary ([p'_0, ..., p'_n])\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S' \in \{V\text{ 上のポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）たち }\}\)。
//
2: 自然言語記述
任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）\(V\)、\(V\)上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）セット（集合）\(\{p_0, ..., p_n\}\)、当該アファインシンプレックス（単体）\([p_0, ..., p_n]\)、\([p_0, ..., p_n]\)のフェイスたちの任意のアセンディング（昇順）シーケンス（列）\(S = ([p'_0], [p'_0, p'_1], ..., [p'_0, ..., p'_n])\)に対して、当該フェイスたちのバリセンター（重心）たちのセット（集合）\(S' = \{bary ([p'_0]), bary ([p'_0, p'_1]), ..., bary ([p'_0, ..., p'_n])\}\)はアファインインディペンデント（独立）である。 \(\)
3: 証明
\(bary ([p'_0, ..., p'_m]) = 1 / (m + 1) (p'_0 + ... + p'_m)\)。特に、\(bary ([p'_0]) = p'_0\)。
\(bary ([p'_0, ..., p'_m]) - bary ([p'_0]) = 1 / (m + 1) (p'_0 + ... + p'_m) - p'_0 = 1 / (m + 1) (p'_0 + (p'_1 - p'_0) + p'_0 + ... + (p'_m - p'_0) + p'_0) - p'_0 = 1 / (m + 1) ((p'_1 - p'_0) + ... + (p'_m - p'_0) + (m + 1) p'_0) - p'_0 = 1 / (m + 1) ((p'_1 - p'_0) + ... + (p'_m - p'_0)) + p'_0 - p'_0 = 1 / (m + 1) ((p'_1 - p'_0) + ... + (p'_m - p'_0))\)。
\(\{bary ([p'_0, p'_1]) - bary ([p'_0]), ..., bary ([p'_0, ..., p'_n]) - bary ([p'_0])\} = \{1 / 2 ((p'_1 - p'_0)), 1 / 3 ((p'_1 - p'_0) + (p'_2 - p'_0)), .., 1 / (n + 1) ((p'_1 - p'_0) + ... + (p'_n - p'_0))\}\)。
\(\{p'_1 - p'_0, p'_2 - p'_0, ..., p'_n - p'_0\}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるから、\(\{1 / 2 ((p'_1 - p'_0)), 1 / 3 ((p'_1 - p'_0) + (p'_2 - p'_0)), ..., 1 / (n + 1) ((p'_1 - p'_0) + ... + (p'_n - p'_0))\}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、任意のモジュール（加群）の任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なファイナイト（有限）サブセット（部分集合）に対して、あるリニア（線形）コンビネーションたちによる、モジュール（加群）のインデュースト（誘導された）サブセット（部分集合）はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるという命題によって。
