660: プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）の要素たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちの内の任意のものによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）である

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プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）の要素たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちの内の任意のものによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）であることの記述/証明

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話題

About: リング（環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）の定義を知っている。
• 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）のサブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちの定義を知っている。
• 読者は、任意のリング（環）、任意のファイナイト（有限）数アイディアル（イデアル）たちに対して、当該アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）はアイディアル（イデアル）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のインテグラルドメイン（整域）および任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちが存在する場合、それらは、ある最大共通ディバイザー（因子）のアソシエイトたちであるという命題を認めている。
• 読者は、任意のインテグラルドメイン（整域）に対して、もしも、任意の要素による任意のプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）が任意の別の要素によるものでもあった場合、当該要素たちはお互いにアソシエイトたちである、そして、当該プリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）は任意のアソシエイトによるものであるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）の要素たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、当該サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちの内の任意のものによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全てのプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）たち }\}$
$S$: $=\{p_1,...,p_n\}\subseteq R$
$p_{1}R+...+p_{n}R$:
$gcd(S)$:
//

ステートメント（言明）たち:
$p_{1}R+...+p_{n}R\in \{R\text{ の全てのプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たち }\}$
$\wedge$
$\mathrm{\forall }d\in gcd(S)(p_{1}R+...+p_{n}R=dR)$
//

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2: 自然言語記述

任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）$R$、任意のサブセット（部分集合）$S:=\{p_1,...,p_n\}\subseteq R$に対して、$p_{1}R+...+p_{n}R$は$gcd(S)$の任意のものによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）である。

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3: 証明

各$p_{j}R$は（プリンシパル（主要））アイディアル（イデアル）である、そして、$p_{1}R+...+p_{n}R$はアイディアル（イデアル）である、任意のリング（環）、任意のファイナイト（有限）数アイディアル（イデアル）たちに対して、当該アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）はアイディアル（イデアル）であるという命題によって。

$p_{1}R+...+p_{n}R$はプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）である、なぜなら、$R$はプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）である。したがって、以下を満たすある$d\in R$、つまり、$p_{1}R+...+p_{n}R=dR$、がある。

$p_j=p_{j}1\in p_{1}R+...+p_{n}R=dR$、それが含意するのは、$p_j=q_{j}d$。したがって、$d$は$S$のある共通ディバイザー（因子）である。

$S$の各共通ディバイザー（因子）$d^{\prime }$に対して、$p_j=q_j^{\prime }{d}^{\prime }$。$d=d1\in dR=p_{1}R+...+p_{n}R$であるから、$d=p_1{r}_1+...+p_n{r}_n=q_1^{\prime }{d}^{\prime }{r}_1+...+q_n^{\prime }{d}^{\prime }{r}_n=(q_1^{\prime }{r}_1+...+q_n^{\prime }{r}_n)d^{\prime }$。したがって、$d$は$S$のある最大共通ディバイザー（因子）である。

各$d^{\prime }\in gcd(S)$に対して、あるユニット$u$に対して$d^{\prime }=ud$、任意のインテグラルドメイン（整域）および任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちが存在する場合、それらは、ある最大共通ディバイザー（因子）のアソシエイトたちであるという命題によって。$d^{\prime }R=dR$、任意のインテグラルドメイン（整域）に対して、もしも、任意の要素による任意のプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）が任意の別の要素によるものでもあった場合、当該要素たちはお互いにアソシエイトたちである、そして、当該プリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）は任意のアソシエイトによるものであるという命題によって。したがって、$d^{\prime }R=dR=p_{1}R+...+p_{n}R$。

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参考資料

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