プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）の要素たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちの内の任意のものによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）であることの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）の定義を知っている。
- 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）のサブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちの定義を知っている。
- 読者は、任意のリング（環）、任意のファイナイト（有限）数アイディアル（イデアル）たちに対して、当該アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）はアイディアル（イデアル）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のインテグラルドメイン（整域）および任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちが存在する場合、それらは、ある最大共通ディバイザー（因子）のアソシエイトたちであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のインテグラルドメイン（整域）に対して、もしも、任意の要素による任意のプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）が任意の別の要素によるものでもあった場合、当該要素たちはお互いにアソシエイトたちである、そして、当該プリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）は任意のアソシエイトによるものであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）の要素たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、当該サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちの内の任意のものによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）たち }\}\)
\(S\): \(= \{p_1, ..., p_n\} \subseteq R\)
\(p_1 R + ... + p_n R\):
\(gcd (S)\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(p_1 R + ... + p_n R \in \{R \text{ の全てのプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たち }\}\)
\(\land\)
\(\forall d \in gcd (S) (p_1 R + ... + p_n R = d R)\)
//
2: 自然言語記述
任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）\(R\)、任意のサブセット（部分集合）\(S := \{p_1, ..., p_n\} \subseteq R\)に対して、\(p_1 R + ... + p_n R\)は\(gcd (S)\)の任意のものによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）である。
3: 証明
各\(p_j R\)は（プリンシパル（主要））アイディアル（イデアル）である、そして、\(p_1 R + ... + p_n R\)はアイディアル（イデアル）である、任意のリング（環）、任意のファイナイト（有限）数アイディアル（イデアル）たちに対して、当該アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）はアイディアル（イデアル）であるという命題によって。
\(p_1 R + ... + p_n R\)はプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）である、なぜなら、\(R\)はプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）である。したがって、以下を満たすある\(d \in R\)、つまり、\(p_1 R + ... + p_n R = d R\)、がある。
\(p_j = p_j 1 \in p_1 R + ... + p_n R = d R\)、それが含意するのは、\(p_j = q_j d\)。したがって、\(d\)は\(S\)のある共通ディバイザー（因子）である。
\(S\)の各共通ディバイザー（因子）\(d'\)に対して、\(p_j = q'_j d'\)。\(d = d 1 \in d R = p_1 R + ... + p_n R\)であるから、\(d = p_1 r_1 + ... + p_n r_n = q'_1 d' r_1 + ... + q'_n d' r_n = (q'_1 r_1 + ... + q'_n r_n) d'\)。したがって、\(d\)は\(S\)のある最大共通ディバイザー（因子）である。
各\(d' \in gcd (S)\)に対して、あるユニット\(u\)に対して\(d' = u d\)、任意のインテグラルドメイン（整域）および任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちが存在する場合、それらは、ある最大共通ディバイザー（因子）のアソシエイトたちであるという命題によって。\(d' R = d R\)、任意のインテグラルドメイン（整域）に対して、もしも、任意の要素による任意のプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）が任意の別の要素によるものでもあった場合、当該要素たちはお互いにアソシエイトたちである、そして、当該プリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）は任意のアソシエイトによるものであるという命題によって。したがって、\(d' R = d R = p_1 R + ... + p_n R\)。
